《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册浙教版》

9.（2023浙江衢州柯城风华学校期中，10，★★☆）如图，在$\square ABCD$中，$P$是$CD$边上一点，且$AP$、$BP$分别平分$\angle DAB$、$\angle CBA$，若$AD = 2.5$，$AP = 4$，则$\square ABCD$的面积是 （ ）

A. 6
B. 12
C. $\frac{24}{5}$
D. $\frac{48}{5}$

答案： B：设点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $h$，因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AB // CD$，$AD // BC$，$AD = BC$，$AB = CD$，所以点 $A$、$B$ 到 $CD$ 的距离都是 $h$，$\angle DAB+\angle ABC = 180^{\circ}$，所以 $S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot h$，$S_{\square ABCD}=AB\cdot h$，所以 $\square ABCD$ 的面积 $= 2S_{\triangle ABP}$。 因为 $AP$、$BP$ 分别平分 $\angle DAB$、$\angle CBA$，所以 $\angle DAP=\angle BAP=\frac{1}{2}\angle BAD$，$\angle ABP=\angle CBP=\frac{1}{2}\angle ABC$，所以 $2\angle BAP + 2\angle ABP = 180^{\circ}$，所以 $\angle BAP+\angle ABP = 90^{\circ}$，所以 $\angle APB = 90^{\circ}$。 因为 $AB // CD$，所以 $\angle BPC=\angle ABP$，$\angle BAP=\angle APD$，所以 $\angle PBC=\angle BPC$，$\angle DAP=\angle APD$，所以 $BC = PC$，$AD = PD$，因为 $AD = 2.5$，所以 $AB = DC = DP + PC = AD + BC = 2AD = 5$。 因为 $AP = 4$，所以 $BP=\sqrt{AB^{2}-AP^{2}} = 3$。所以 $\square ABCD$ 的面积 $= 2S_{\triangle ABP}=2\times\frac{1}{2}\times3\times4 = 12$。

10. 已知直线$a$，$b$，$c$互相平行，直线$a$与$b$之间的距离是$3\ cm$，直线$b$与$c$之间的距离是$5\ cm$，那么直线$a$与$c$之间的距离是______.

答案： 答案：$2\ cm$ 或 $8\ cm$ 解析：若直线 $a$ 在直线 $b$ 与 $c$ 之间，则 $a$ 与 $c$ 之间的距离是 $5 - 3 = 2(cm)$；若直线 $a$ 与 $c$ 分别在直线 $b$ 的两侧，则 $a$ 与 $c$ 之间的距离是 $5 + 3 = 8(cm)$。综上，直线 $a$ 与 $c$ 之间的距离是 $2\ cm$ 或 $8\ cm$。

11. 如图，直线$a// b$，$AB$与$a$，$b$分别相交于点$A$，$B$，且$AC\perp AB$，$AC$交直线$b$于点$C$.
（1）若$\angle 1 = 70^{\circ}$，求$\angle 2$的度数.
（2）若$AC = 5$，$AB = 12$，$BC = 13$，求直线$a$与$b$之间的距离.

答案： 解析： （1）因为 $a // b$，$\angle 1 = 70^{\circ}$，所以 $\angle 3=\angle 1 = 70^{\circ}$，因为 $AC \perp AB$，所以 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle 2 = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle 3 = 20^{\circ}$。 （2）如图，过点 $A$ 作 $AD \perp BC$ 于点 $D$，因为 $AC \perp AB$，所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AB\cdot AC$，因为 $AC = 5$，$AB = 12$，$BC = 13$，所以 $\frac{1}{2}\times13\cdot AD=\frac{1}{2}\times12\times5$，解得 $AD=\frac{60}{13}$，所以直线 $a$ 与 $b$ 之间的距离为 $\frac{60}{13}$。

12. [推理能力] 我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”. 利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形$ABCD$中，取对角线$BD$的中点$O$，连结$OA$，$OC$，显然，折线$AOC$能平分四边形$ABCD$的面积，再过点$O$作$OE// AC$交$CD$于$E$，作直线$AE$，则直线$AE$即为一条“等积线”.
（1）如图①，试说明直线$AE$是一条“等积线”.
（2）如图②，$AE$为一条“等积线”，$F$为$AD$边上的一点，请作出经过$F$点的“等积线”，并说明理由.
（3）张大爷有一块如图③所示的土地$ABCD$，折线$EGF$是其中的一条小路，张大爷现在想把它改为一条过点$E$的直路，要求直路左边的土地面积与原来一样，请你在图③中画出示意图（只需对作图适当说明，无需说明理由）.

答案： 解析： （1）证明：点 $O$ 是 $BD$ 的中点，所以 $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOD}$，$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle DOC}$，所以 $S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle DOC}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}$，所以 $S_{四边形ABCO}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}$，所以折线 $AOC$ 能平分四边形 $ABCD$ 的面积。 如图，设 $AE$ 交 $OC$ 于 $F$。因为 $OE // AC$，所以 $S_{\triangle AOE}=S_{\triangle COE}$，所以 $S_{\triangle AOF}=S_{\triangle CEF}$，所以 $S_{四边形ABCO}=S_{四边形ABCE}$，所以 $S_{四边形ABCE}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}$，所以直线 $AE$ 平分四边形 $ABCD$ 的面积，即直线 $AE$ 是一条“等积线”。 （2）如图，连结 $EF$，过 $A$ 作 $EF$ 的平行线交 $CD$ 于点 $G$，作直线 $FG$，则直线 $FG$ 为一条“等积线”。 理由如下：因为 $AG // EF$，所以 $S_{\triangle AGE}=S_{\triangle AFG}$，设 $AE$ 与 $FG$ 的交点是 $O$，则 $S_{\triangle AOF}=S_{\triangle GOE}$，因为 $AE$ 为一条“等积线”，所以 $FG$ 为一条“等积线”。 （3）如图所示，连结 $EF$，过点 $G$ 作 $GH // EF$，交 $AB$ 于点 $H$，连结 $EH$，$EH$ 即为直路的位置。