《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册浙教版》

1.（2023福建三明期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）
A.$x^{2}-2x + 1 = 0$
B.$x^{2}+x + 1 = 0$
C.$x^{2}-2x - 3 = 0$
D.$x^{2} = -2$

答案： **C**\nA. $b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\times1\times1 = 0$，原方程有两个相等的实数根；\nB. $b^{2}-4ac = 1^{2}-4\times1\times1=-3\lt0$，原方程没有实数根；\nC. $b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\times1\times(-3)=16\gt0$，原方程有两个不相等的实数根；\nD. $-2\lt0$，原方程没有实数根。

2. 新考向·代数推理 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+9x + 20 - 2k^{2}=0$. 求证：对于任意实数$k$，方程总有两个不相等的实数根.

答案： **解析**：因为$x^{2}+9x + 20-2k^{2}=0$，所以$b^{2}-4ac = 81-4(20 - 2k^{2})=8k^{2}+1\gt0$，所以对于任意实数$k$，方程总有两个不相等的实数根。

3. 已知关于$x$的方程$x^{2}-2(m + 2)x + m^{2}+5 = 0$没有实数根. 试判断关于$x$的方程$(m + 5)x^{2}-2(m + 1)x + m = 0$的根的情况.

答案： **解析**：因为关于$x$的方程$x^{2}-2(m + 2)x+m^{2}+5 = 0$没有实数根，所以$b^{2}-4ac=[-2(m + 2)]^{2}-4\times1\times(m^{2}+5)=16m - 4\lt0$，解得$m\lt\frac{1}{4}$。\n①当$m + 5\neq0$，即$m\neq - 5$时，方程$(m + 5)x^{2}-2(m + 1)x+m = 0$是一元二次方程，所以$b^{2}-4ac=[-2(m + 1)]^{2}-4(m + 5)m = 4-12m$，因为$m\lt\frac{1}{4}$，所以$4-12m\gt0$，所以方程有两个不相等的实数根；\n②当$m + 5 = 0$，即$m=-5$时，方程为$8x-5 = 0$，所以方程有一个实数根。

4. 若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-4x + 3 = 0$有实数根，则$k$的非负整数值是 （ ）
A. 1
B. 0，1
C. 1，2
D. 1，2，3

答案： **A**：原方程为一元二次方程且有实数根，则有$(-4)^{2}-4\times3\times k\geq0$，且$k\neq0$，解得$k\leq\frac{4}{3}$，且$k\neq0$，所以$k$的非负整数值为$1$，故选A。

5. 已知关于$x$的方程$x^{2}-2mx + m^{2}-n + 1 = 0$.
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求$n$的取值范围.
（2）若$n$为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求$m$的值.

答案： **解析**\n
(1)因为原方程有两个不相等的实数根，所以$b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4\times1\times(m^{2}-n + 1)\gt0$，所以$4m^{2}-4m^{2}+4n-4\gt0$，解得$n\gt1$。\n
(2)因为$n\gt1$，$n$为符合条件的最小整数，所以$n = 2$，所以原方程为$x^{2}-2mx+m^{2}-2 + 1 = 0$，即$x^{2}-2mx+m^{2}-1 = 0$，所以$x^{2}-2mx+m^{2}=1$，即$(x - m)^{2}=1$，解得$x=m + 1$或$x=m - 1$，因为该方程的较大根是较小根的$5$倍，所以$m + 1 = 5(m - 1)$，所以$m=\frac{3}{2}$。

6. 已知$a$、$b$、$c$为三角形的三边长，且关于$x$的一元二次方程$(b - c)x^{2}+2(a - b)x + b - a = 0$有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是（ ）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 不等边三角形
D. 腰和底不等的等腰三角形

答案： **D**：因为关于$x$的一元二次方程$(b - c)x^{2}+2(a - b)x+b - a = 0$有两个相等的实数根，所以$[2(a - b)]^{2}-4(b - c)(b - a)=0$，且$b - c\neq0$，整理，得$(a - b)(a - c)=0$，且$b\neq c$，所以$a - b = 0$或$a - c = 0$，且$b\neq c$，所以$a = b$或$a = c$，且$b\neq c$，所以以$a$、$b$、$c$为三边长的三角形为腰和底不等的等腰三角形。

7. 已知$a$，$b$，$c$分别是$\triangle ABC$的三边长，当$m＞0$时，关于$x$的一元二次方程$c(x^{2}+m)+b(x^{2}-m)-2\sqrt{m}ax = 0$有两个相等的实数根，试说明$\triangle ABC$一定是直角三角形.

答案： **解析**：方程化为一般形式得$(c + b)x^{2}-2\sqrt{m}ax+m(c - b)=0$，因为关于$x$的一元二次方程$c(x^{2}+m)+b(x^{2}-m)-2\sqrt{m}ax = 0$有两个相等的实数根，所以$(-2\sqrt{m}a)^{2}-4(c + b)(c - b)=0$，所以$4ma^{2}-4m(c^{2}-b^{2})=0$，因为$m\gt0$，所以$a^{2}-(c^{2}-b^{2})=0$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$\triangle ABC$一定是直角三角形。