《2026年理想树试题攻略高中物理》

14. (12 分)如图所示,在光滑的水平面上放置两个质量均为 m 的物块 A 和 B,在物块 B 上拴接一劲度系数为 k 的轻质弹簧,弹簧处于原长,初始时刻物块 B 静止,物块 A 以初速度 $ v_0 $ 向 B 运动,物块 A 接触并压缩弹簧,当 A、B 共速瞬间,B 恰好与固定挡板 N 发生碰撞,并瞬间被挡板 N 锁定,在相互作用过程中,弹簧始终处于弹性限度内。
(1)求 A、B 的共同速度大小 $ v_1 $;
(2)求在整个过程中弹簧的最大弹性势能 $ E_{pm} $;
(3)若弹簧振子的振动周期为 $ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $,弹簧弹性势能 $ E_p $ 与弹簧形变量 x 的关系为 $ E_p = \frac{1}{2}kx^2 $,求物块 A 从反弹到刚要离开弹簧的过程中平均速度的大小。

答案：
$14.(1)\frac{v_{0}}{2}(2)\frac{3}{8}mv_{0}^{2}(3)\frac{\sqrt{3}}{π}v_{0}$
重难考点动量守恒定律+能量守恒定律+简谐运动
【思路引导】

【深度解析】
(1)对A、B组成的系统,根据动量守恒定律可得$mv_{0}=2mv_{1};$
解得A、B的共同速度大小为$v_{1}=\frac{v_{0}}{2}(2$分)
(2)从开始至A、B共速的过程中,根据能量守恒定律可得$ΔE_{p1}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{1}{2}×2mv_{1}^{2}(1$分)
B被锁定后A停止运动过程中,根据能量守恒定律可得$ΔE_{p2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-0(1$分)
则弹簧的最大弹性势能$E_{pm}=ΔE_{p1}+ΔE_{p2}(1$分)
联立解得$E_{pm}=\frac{3}{8}mv_{0}^{2}(1$分)
(3)设A从反弹到刚要离开弹簧的过程中运动位移大小为x,所用时间为t,
由$E_{pm}=\frac{1}{2}kx^{2}$可得位移大小$x=\frac{v_{0}}{2}\sqrt{\frac{3m}{k}}(1$分)
A反弹过程为简谐运动的一部分,周期$T=2π\sqrt{\frac{m}{k}},$
则运动时间$t=\frac{1}{4}T(1$分)
平均速度大小$\overline{v}=\frac{x}{t}(1$分)
联立解得$\overline{v}=\frac{\sqrt{3}}{π}v_{0}(1$分)
易错警示
(1)求弹簧最大弹性势能时错误地认为A、B共速时弹簧弹性势能最大,从而忽略了B被挡板锁定后,A还会继续压缩弹簧,直到A速度为0时弹簧弹性势能才最大;
(2)求A从反弹到刚离开弹簧的过程中平均速度时对弹簧振子振动周期的应用不熟悉,错算A从反弹到刚离开弹簧的时间,比如不知道这个过程时间是周期的$\frac{1}{4},$导致时间计算错误,进而影响平均速度的求解。

15. (16 分)如图所示的 xOy 平面内,$ x ＜ 0 $ 的区域内有竖直向上的匀强电场;在 $ 0 ＜ x \leq 4L $ 区域内,处于第一象限的匀强磁场,磁感应强度为 $ B_1 $ (未知);处于第四象限的匀强磁场,磁感应强度为 $ B_2 $ (未知),$ B_2 = 4B_1 $,磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为 m、带电荷量为 +q 的粒子,在 $ t = 0 $ 时刻,从 P 点(P 点的横、纵坐标为 $ x = -2L $,$ y = -L $)以速度 $ v_0 $ 沿 x 轴正方向水平射出,恰好从坐标原点进入第一象限,最终垂直磁场右边界射出磁场,不计粒子的重力。求:
(1)粒子进入磁场时的速度大小;
(2)粒子在磁场中运动的最短时间;
(3)磁感应强度 $ B_1 $ 的可能取值。

答案：
$15.(1)\sqrt{2}v_{0}(2)\frac{πL}{v_{0}}(3)B_{1}=\frac{(3n-1)mv_{0}}{8qL}(n=1,2,3,⋯)$或$B_{1}=\frac{(3n+2)mv_{0}}{8qL}(n=0,1,2,3,⋯)$
重难考点类平抛运动+带电粒子在磁场中的圆周运动多解问题
【深度解析】
(1)带电粒子在电场中,水平方向做匀速运动,有$2L=v_{0}t(1$分)
竖直方向做匀加速运动,有$L=\frac{v_{y}}{2}t(1$分)
解得$v_{y}=v_{0}$
则带电粒子通过坐标原点时的速度大小为$v=\sqrt{v_{0}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{2}v_{0}(2$分)
(2)设进入磁场时速度方向与x轴正半轴的夹角为θ,则$tanθ=\frac{v_{y}}{v_{0}}=1,θ=\frac{π}{4},$当粒子进入磁场后,不进入第四象限,只在第一象限中运动直接垂直磁场右边界射出时用时最短,

运动轨迹如图甲所示,由几何关系可知$r=\frac{4L}{sinθ}=4\sqrt{2}L(1$分)
带电粒子在磁场中运动的周期$T=\frac{2πr}{v}(2$分)
粒子在磁场中运动的最短时间$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{T}{8}(1$分)
解得$t=\frac{πL}{v_{0}}(1$分)
(3)粒子在磁场中运动,轨迹如图乙所示,

在磁场中由洛伦兹力提供向心力有$qvB=m\frac{v^{2}}{r}(2$分)
且$B_{2}=4B_{1},$则有$r_{1}=4r_{2}(1$分)
由轨迹图可知,粒子一定是从第一象限垂直磁场右边界射出(关键:粒子进入第四象限磁场时速度方向与y轴正方向夹角大于90°,则当速度方向与磁场边界垂直时,速度方向沿x轴负方向),
由几何关系可知$\frac{\sqrt{2}}{2}r_{1}+(n-1)(\sqrt{2}r_{1}-\sqrt{2}r_{2})=4L(n=1,2,3,⋯)$或$\frac{\sqrt{2}}{2}r_{1}+n(\sqrt{2}r_{1}-\sqrt{2}r_{2})=4L(n=0,1,2,3,⋯)(2$分)
对带电粒子,由洛伦兹力提供向心力有$qvB_{1}=m\frac{v^{2}}{r_{1}}$
解得$B_{1}=\frac{(3n-1)mv_{0}}{8qL}(n=1,2,3,⋯)$或$B_{1}=\frac{(3n+2)mv_{0}}{8qL}(n=0,1,2,3,⋯)(1$分)