《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. (2025·河南南阳期末)已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n}-a_{n-1}=2(n\geqslant 2)$，且$a_{1}=1$，则数列$\{ a_{n}\}$前$ 10 $项的和$S_{10}=$(D)

A.$19$
B.$20$
C.$90$
D.$100$

答案： 1.D 根据$a_{n}-a_{n - 1}=2(n\geq2)$，且$a_{1}=1$，得数列$\{ a_{n}\}$是首项为1，公差为2的等差数列，所以$S_{n}=n+\frac{n(n - 1)}{2}×2=n^{2}$，所以数列$\{ a_{n}\}$前10项的和$S_{10}=10^{2}=100$，故选D。

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和为$S_{n}$，且$a_{2}=3$，$S_{9}=9$，则$a_{8}=$(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-1$

答案： 2.D 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{9}=\frac{9(a_{1}+a_{9})}{2}=9a_{5}=9$，解得$a_{5}=1$，而$a_{2}=3$，由$a_{2}+a_{8}=2a_{5}$，得$a_{8}=2×1 - 3=-1$。

3. (2024·江苏镇江期中)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层$ 1 $座，第二层$ 3 $座，第三层$ 3 $座，第四层$ 5 $座，第五层$ 5 $座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为$ 5 $，公差为$ 2 $的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有(D)

A.八层
B.十层
C.十一层
D.十二层

答案： 3.D 设该塔共有$(n + 4)$层，则$5n+\frac{n(n - 1)}{2}×2=108-(1 + 3 + 3 + 5)$，即$(n + 12)·(n - 8)=0$，解得$n=8$或$n=-12$(舍)，即该塔共有$n + 4=8 + 4=12$层。

4. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和为$S_{n}$，$a_{1}=19$，$S_{10}=10$，则$S_{n}$的最大值为(D)

A.$\frac{441}{8}$
B.$52$
C.$54$
D.$55$

答案： 4.D 设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则$10×19+\frac{10×9}{2}d=10$，解得$d=-4$，故$S_{n}=19n+\frac{n(n - 1)}{2}×(-4)=21n - 2n^{2}$.又函数$y=-2x^{2}+21x$的图象对称轴为直线$x=\frac{21}{4}$，而$n\in N^{*}$，故当$n=5$时，$S_{n}$取得最大值$S_{5}=55$。

5. (多选)(2024·广东佛山石门中学月考)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和为$S_{n}$，若$a_{n}=\lambda n + 1$，$a_{10}=21$，则(AC)

A.$\lambda = 2$
B.$\lambda = 3$
C.$S_{9}=99$
D.$S_{9}=199$

答案： 5.AC 由$a_{n}=\lambda n + 1$得$a_{10}=10\lambda+1=21$，得$\lambda=2$，所以$a_{n}=2n + 1$，则$a_{n}-a_{n - 1}=2n + 1 - 2n + 1=2$，所以$\{ a_{n}\}$是等差数列，则$S_{9}=\frac{9(a_{1}+a_{9})}{2}=9a_{5}=9×11=99$，故选AC。

6. (多选)设$\{ a_{n}\}$是等差数列，$d$是其公差，$S_{n}$是其前$ n $项的和，且$a_{8}＞a_{7}$，$S_{7}=S_{8}＞S_{9}$，则下列结论正确的是(AC)

A.$a_{8}=0$
B.$d＞0$
C.$S_{7}$与$S_{8}$均为$S_{n}$的最大值
D.$S_{8}$为$S_{n}$的最小值

答案： 6.AC 因为$S_{7}=S_{8}$，所以$a_{8}=S_{8}-S_{7}=0$，故A正确；因为$\{ a_{n}\}$是等差数列且$a_{6}＞a_{7}$，所以公差$d=a_{7}-a_{6}＜0$，
故B错误；因为$S_{8}＞S_{9}$，所以$a_{9}=S_{9}-S_{8}＜0$，又因为$\{ a_{n}\}$是等差数列且$d＜0$，所以$S_{7}$与$S_{8}$均为$S_{n}$的最大值，故C正确，D错误.

7. 已知等差数列各项为$-1$，$-3$，$-5$，$-7$，$·s$，其前$ k $项和为$-100$，若其前$ m $项和为$-2k - 5$，则$m = $5$$。

答案： 7.5
解析 由题得该等差数列的首项为$-1$，公差为$-2$，所以$S_{n}=n×(-1)+\frac{n(n - 1)}{2}×(-2)=-n^{2}$，则$S_{k}=-k^{2}=-100$，解得$k = 10$，$S_{m}=-m^{2}=-2k - 5=-25$，解得$m = 5$。

8. 若数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和$S_{n}=n^{2}-4n + 2$，则$\vert a_{1}\vert + \vert a_{2}\vert + ·s + \vert a_{10}\vert = $66$$。

答案： 8.66
解析 因为$S_{n}=n^{2}-4n + 2$，当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=1 - 4 + 2=-1$；
当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=n^{2}-4n + 2-[(n - 1)^{2}-4(n - 1)+2]=2n - 5$，
所以$a_{2}＜0,a_{3}＞0,a_{4}＞0,·s$
故$\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+·s+\vert a_{10}\vert=S_{10}+2(\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert)=10^{2}-4×10 + 2+2×(1 + 1)=66$。

9. (2024·北京海淀期中)在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{4}+a_{8}=8$，$a_{10}=12$。
(1) 求数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}$和公差$ d $；
(2) 设数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和为$S_{n}$，求$S_{n}$的最小值及取最小值时$ n $的值。

答案： 9.解
(1)因为$a_{4}+a_{8}=8,a_{10}=12$，所以$\begin{cases}2a_{1}+10d=8,\\a_{1}+9d=12,\end{cases}$解得$a_{1}=-6,d=2$，
所以数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=-6$，公差$d=2$。
(2)由
(1)知$a_{1}=-6,d=2$，可得$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=n^{2}-7n=(n-\frac{7}{2})^{2}-\frac{49}{4}$，
因为$n\in N^{*}$，所以$n = 3$或$n = 4$时，$S_{n}$取得最小值，为$3^{2}-7×3=-12$。