《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. (2024·安徽宿州期中)若$ f(x)=\ln(-x) $，则$ f'(-2024)= $(A)

A.$-\frac{1}{2024}$
B.$-2024$
C.$\frac{1}{2024}$
D.$2024$

答案： 1.A $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$，则$f^{\prime}(-2024)=\frac{1}{-2024}=-\frac{1}{2024}$.

2. 已知函数$ f(x)=\sin2x - f'(0)x $，则$ f'(0)= $(A)

A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$

答案： 2.A 由$f(x)=\sin 2x - f^{\prime}(0)x$可得$f^{\prime}(x)=2\cos 2x - f^{\prime}(0)$，故$f^{\prime}(0)=2\cos 0 - f^{\prime}(0),\therefore f^{\prime}(0)=1$，故选A.

3. 曲线$ y = x + e^{2x} $在$ x = 0 $处的切线方程为(D)

A.$ y = x $
B.$ y = x + 1 $
C.$ y = 2x + 1 $
D.$ y = 3x + 1 $

答案： 3.D 因为$y = x + e^{2x}$，所以$y^{\prime}=1 + 2e^{2x}$，当$x = 0$时，$y = 1,y^{\prime}=3$，故曲线$y = x + e^{2x}$在$x = 0$处的切线方程为$y - 1 = 3(x - 0)$，即$y = 3x + 1$.

4. 已知物体的位移$ s $(单位：$ m $)与时间$ t $(单位：$ s $)满足函数关系$ s = 2\sin\pi t $，则物体在$ t = 2 $时的瞬时速度为(A)

A.$ 2\pi(m/s) $
B.$ -2\pi(m/s) $
C.$ 2(m/s) $
D.$ -2(m/s) $

答案： 4.A 因为物体的位移$s$（单位：m）与时间$t$（单位：s）满足函数关系$s = 2\sin \pi t$，所以$s^{\prime}=2\pi\cos \pi t$，令$t = 2$，则$s^{\prime}=2\pi\cos 2\pi = 2\pi$.

5. (多选)下列求导正确的是(AD)

A.$ (\cos2x)' = -2\sin2x $
B.$ (3^{x})' = x·3^{x - 1} $
C.$ [(2x + 1)^{2}]' = 2(2x + 1) $
D.$ [(\sin x^{2})^{3}]' = 3x\sin x^{2}·\sin2x^{2} $

答案： 5.AD 对于A，令$u = 2x$，则$(\cos 2x)^{\prime}=(\cos u)^{\prime}·(2x)^{\prime}=-\sin 2x·2 = - 2\sin 2x$，正确；对于B，$(3^{x})^{\prime}=3^{x}\ln 3$，错误；对于C，令$u = 2x + 1$，则$[(2x + 1)^{2}]^{\prime}=(u^{2})^{\prime}·(2x + 1)^{\prime}=2(2x + 1)·2 = 4(2x + 1)$，错误；对于D，令$t = x^{2}$，$u = \sin t$，则$[(\sin x^{2})^{3}]^{\prime}=3u^{2}·\cos t·2x = 3(\sin x^{2})^{2}·\cos x^{2}·2x = 3x\sin x^{2}·\sin 2x^{2}$，正确.

6. (多选)定义在$ \mathbf{R} $上的函数$ f(x),g(x) $，它们的导函数$ f'(x),g'(x) $都存在，则下列说法正确的是(BCD)

A.若$ f'(x) = g'(x) $，则$ f(x) = g(x) $
B.若$ f(x) = g(x) $，则$ f'(x) = g'(x) $
C.若函数$ f(x) $是奇函数，则导函数$ f'(x) $一定是偶函数
D.若函数$ g(x) $是偶函数，则导函数$ g'(x) $一定是奇函数

答案： 6.BCD 对于A项，令$f(x)=x$，$g(x)=x + 1$，则$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)=1$，但是$f(x)=g(x)$不成立，错误；对于B项，若$f(x)=g(x)$，则$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$，正确；对于C项，由已知可得$f(-x)=-f(x)$，两边同时求导得$-f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x)$，即$f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x)$，故$f^{\prime}(x)$是偶函数，正确；对于D项，由已知可得$g(-x)=g(x)$，两边同时求导得$-g^{\prime}(-x)=g^{\prime}(x)$，所以$g^{\prime}(x)$是奇函数，正确.

7. 已知集合$ f(2x + 3) = 2^{x} $，则$ f'(4) = $$\frac{\sqrt{2}}{2}\ln 2$.

答案： 7.$\frac{\sqrt{2}}{2}\ln 2$
解析 解法一：将$f(2x + 3)=2^{x}$两边同时对$x$求导，得$f^{\prime}(2x + 3)×(2x + 3)^{\prime}=2f^{\prime}(2x + 3)=2^{x}\ln 2$，即$f^{\prime}(2x + 3)=\frac{2^{x}\ln 2}{2}$，所以$f^{\prime}(4)=f^{\prime}(2×\frac{1}{2}+3)=\frac{2^{\frac{1}{2}}\ln 2}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ln 2$.
解法二：由$f(2x + 3)=2^{x}$得$f(2x + 3)=2^{\frac{2x + 3 - 3}{2}}$，故$f(x)=2^{\frac{x - 3}{2}}$，即$f^{\prime}(x)=2^{\frac{x - 3}{2}}×\ln 2×(\frac{x - 3}{2})^{\prime}=\frac{1}{2}×2^{\frac{x - 3}{2}}×\ln 2$，所以$f^{\prime}(4)=\frac{1}{2}×2^{\frac{4 - 3}{2}}×\ln 2=\frac{\sqrt{2}}{2}\ln 2$.

8. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正$ n $边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率$ \pi $的精度较高的近似值.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算.设$ f(x) = \ln(2023x + 1) $，则$ f'(x) = $$\frac{2023}{2023x + 1}$，其在点$ (0,0) $处的切线方程为$y = 2023x$.

答案： 8.$\frac{2023}{2023x + 1}$ $y = 2023x$
解析 $\because f(x)=\ln(2023x + 1)$，$\therefore f^{\prime}(x)=\frac{(2023x + 1)^{\prime}}{2023x + 1}=\frac{2023}{2023x + 1}$，则$f^{\prime}(0)=2023$.故曲线$y = f(x)$在点$(0,0)$处的切线方程为$y = 2023x$.

9. (2024·湖北黄冈中学月考)求下列函数的导数：
(1)$ y = \frac{x\ln x}{x + 1} - \ln(x + 1) $；
(2)$ y = \ln\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} $；
(3)$ y = \sin^{4}3x·\cos^{3}4x $.

答案： 9.解
(1)$y^{\prime}=\frac{(1 + \ln x)(x + 1) - x\ln x}{(x + 1)^{2}}=\frac{1 + \ln x}{(x + 1)^{2}}$.
(2)因为$y = \ln\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}=\frac{1}{2}\ln\frac{x - 1}{x + 1}$，所以$y^{\prime}=\frac{1}{2}·\frac{x + 1 - (x - 1)}{(x - 1)}·\frac{1}{\frac{x^{2} - 1}{}}=\frac{1}{x^{2} - 1}$.
(3)$y^{\prime}=12\cos 3x·\sin^{3}x·\cos^{4}x - 12\sin 4x·\sin^{3}x·\cos^{4}x = 12\sin^{3}3x·\cos^{4}4x·\cos 7x$.