搜索
2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. (2025·北京大兴期末)若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为 (
A.-3
B.3
C.-9
D.9
B
)A.-3
B.3
C.-9
D.9
答案：
1.B 因为数列 1,a,b,c,9 是等比数列，所以$b^{2}=1 × 9$，解得$b=3$或$b=-3$，当$b=-3$时，不满足$1 × b=a^{2}$，故舍去；当$b=3$时，经检验符合题意，所以$b=3$。
2. (2024·浙江嘉兴期中)公比为q的等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}＞0$，$a_{4}=2a_{3}+3a_{2}$，则$q=$(
A.-1
B.1
C.3
D.9
C
)A.-1
B.1
C.3
D.9
答案：
2.C 由$a_{n}＞0$，知$a_{1}＞0,q＞0$，又$a_{4}=2a_{3}+3a_{2}$，$\therefore a_{1}· q^{3}=2a_{1}· q^{2}+3a_{1}· q$，$\therefore q^{2}=2q+3$，解得$q=-1(舍)$或$q=3$。
3. (2024·广西桂林十七中月考)在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{5}=1$，$a_{6}=3$，则$a_{8}=$ (
A.81
B.243
C.9
D.27
D
)A.81
B.243
C.9
D.27
答案：
3.D 因为数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，且$a_{5}=1,a_{6}=3$，所以公比$q=\frac{a_{6}}{a_{5}}=3$，所以$a_{8}=a_{6}· q^{2}=3 × 3^{2}=27$。
4. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{4}=\frac{1}{4}$。若$a_{m}=2^{-11}$，则$m=$ (
A.17
B.16
C.14
D.13
D
)A.17
B.16
C.14
D.13
答案：
4.D 设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，因为$a_{1}=2,a_{4}=\frac{1}{4}$，所以$2q^{3}=\frac{1}{4}$，解得$q=\frac{1}{2}$，又$a_{m}=2^{-11}$，所以$2 × (\frac{1}{2})^{m - 1}=2^{-11}$，可得$m=13$。
5. (多选)已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}=1$，$a_{6}=16$，则下列说法正确的是 (
A.若$\{ a_{n}\}$是等比数列，则$a_{5}=8$
B.若$\{ a_{n}\}$是等比数列，则$a_{5}=\pm 8$
C.若$\{ a_{n}\}$是等差数列，则$a_{5}=8$
D.若$\{ a_{n}\}$是等差数列，则公差为$\frac{15}{4}$
BD
)A.若$\{ a_{n}\}$是等比数列，则$a_{5}=8$
B.若$\{ a_{n}\}$是等比数列，则$a_{5}=\pm 8$
C.若$\{ a_{n}\}$是等差数列，则$a_{5}=8$
D.若$\{ a_{n}\}$是等差数列，则公差为$\frac{15}{4}$
答案：
5.BD 若$\{ a_{n}\}$是等比数列，设其公比为$q$，则$\frac{a_{6}}{a_{2}}=q^{4}=16$，$\therefore q = \pm 2$，$\therefore a_{5}=a_{2}· q^{3}= \pm 8$，B正确，A不正确；若$\{ a_{n}\}$是等差数列，则公差$d=\frac{a_{6}-a_{2}}{6 - 2}=\frac{\frac{15}{4}-\frac{49}{4}}{4} \neq 8$，D正确，C不正确.
6. (多选)设数列$\{ a_{n}\}$是各项均为正数的等比数列，则 (
A.$a_{3}$，$a_{5}$，$a_{7}$是等比数列
B.$\{ a_{n}^{3}\}$是等比数列
C.$\{ \lg a_{n}\}$是等比数列
D.$\{ \frac{1}{a_{n}}\}$是等比数列
ABD
)A.$a_{3}$，$a_{5}$，$a_{7}$是等比数列
B.$\{ a_{n}^{3}\}$是等比数列
C.$\{ \lg a_{n}\}$是等比数列
D.$\{ \frac{1}{a_{n}}\}$是等比数列
答案：
6.ABD 设等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q(q \neq 0)$。对于A,$a_{5}^{2}=(a_{1}q^{4})^{2}=a_{1}^{2}q^{8}$，$a_{3}· a_{7}=(a_{1}q^{2})· (a_{1}q^{6})=a_{1}^{2}q^{8}$，所以$a_{5}^{2}=a_{3}· a_{7}$，则$a_{3},a_{5},a_{7}$成等比数列，A正确；对于B，因为$\frac{a_{n + 1}^{3}}{a_{n}^{3}}=q^{3}$，所以$\{ a_{n}^{3}\}$是等比数列，B正确；对于C，不妨设等比数列$\{ a_{n}\}$为$a_{n}=1$，则$\lg a_{n}=0$，则$\{ \lg a_{n}\}$不是等比数列，C错误；对于D，因为$\frac{a_{n + 1}}{\frac{1}{a_{n}}}=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=q$，所以$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是等比数列，D正确.
7. 已知x和y是$2-\sqrt{3}$和$2+\sqrt{3}$的等差中项和等比中项，则$x=$
2
，$y=$或$-1$
。
答案：
7.2 或$-1$
解析 $2 - \sqrt{3}$和$2 + \sqrt{3}$的等差中项$x = \frac{2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}}{2}=2$，
$2 - \sqrt{3}$和$2 + \sqrt{3}$的等比中项$y = \pm \sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}=\pm \sqrt{4 - 3}= \pm 1$。
解析 $2 - \sqrt{3}$和$2 + \sqrt{3}$的等差中项$x = \frac{2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}}{2}=2$，
$2 - \sqrt{3}$和$2 + \sqrt{3}$的等比中项$y = \pm \sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}=\pm \sqrt{4 - 3}= \pm 1$。
8. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}$，$4a_{6}$，0构成等差数列，且$a_{7}-a_{8}=4$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为
$a_{n}=(\frac{1}{2})^{n - 10}$
。
答案：
8.$a_{n}=(\frac{1}{2})^{n - 10}$
解析 设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，因为$a_{3},4a_{6},0$构成等差数列，所以$8a_{6}=a_{3}$，即$\frac{a_{6}}{a_{3}}=q^{3}=\frac{1}{8}$，所以$q=\frac{1}{2}$，又因为$a_{7}-a_{8}=4$，所以$a_{1}(q^{6}-q^{7})=a_{1}( \frac{1}{64}-\frac{1}{128})=4$，解得$a_{1}=512$，则$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=(\frac{1}{2})^{n - 10}$。
解析 设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，因为$a_{3},4a_{6},0$构成等差数列，所以$8a_{6}=a_{3}$，即$\frac{a_{6}}{a_{3}}=q^{3}=\frac{1}{8}$，所以$q=\frac{1}{2}$，又因为$a_{7}-a_{8}=4$，所以$a_{1}(q^{6}-q^{7})=a_{1}( \frac{1}{64}-\frac{1}{128})=4$，解得$a_{1}=512$，则$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}=(\frac{1}{2})^{n - 10}$。
9. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中：
(1) 若$a_{1}=256$，$a_{9}=1$，求公比q和$a_{12}$；
(2) 若$a_{3}· a_{5}=18$，$a_{4}· a_{8}=72$，求公比q。
(1) 若$a_{1}=256$，$a_{9}=1$，求公比q和$a_{12}$；
(2) 若$a_{3}· a_{5}=18$，$a_{4}· a_{8}=72$，求公比q。
答案：
9.解
(1)因为$a_{9}=a_{1}· q^{8}$，所以$256· q^{8}=1$，解得$q = \pm \frac{1}{2}$，
当$q=\frac{1}{2}$时，$a_{12}=a_{1}· q^{11}=256 × \frac{1}{2^{11}}=\frac{1}{8}$；
当$q = - \frac{1}{2}$时，$a_{12}=a_{1}· q^{11}=256 × ( - \frac{1}{2})^{11}= - \frac{1}{8}$。
综上所述，$\begin{cases} q = \frac{1}{2} \\ a_{12}=\frac{1}{8} \end{cases}$或$\begin{cases} q = - \frac{1}{2} \\ a_{12}= - \frac{1}{8} \end{cases}$
(2)因为$a_{3}· a_{5}=18$，所以$a_{1}q^{2}· a_{1}q^{4}=18$，即$a_{1}^{2}q^{6}=18$。
又因为$a_{4}· a_{8}=72$，所以$a_{1}q^{3}· a_{1}q^{7}=72$，即$a_{1}^{2}q^{10}=72$。
两式相除得$q^{4}=\frac{72}{18}=4$，所以$q = \pm \sqrt{2}$。
(1)因为$a_{9}=a_{1}· q^{8}$，所以$256· q^{8}=1$，解得$q = \pm \frac{1}{2}$，
当$q=\frac{1}{2}$时，$a_{12}=a_{1}· q^{11}=256 × \frac{1}{2^{11}}=\frac{1}{8}$；
当$q = - \frac{1}{2}$时，$a_{12}=a_{1}· q^{11}=256 × ( - \frac{1}{2})^{11}= - \frac{1}{8}$。
综上所述，$\begin{cases} q = \frac{1}{2} \\ a_{12}=\frac{1}{8} \end{cases}$或$\begin{cases} q = - \frac{1}{2} \\ a_{12}= - \frac{1}{8} \end{cases}$
(2)因为$a_{3}· a_{5}=18$，所以$a_{1}q^{2}· a_{1}q^{4}=18$，即$a_{1}^{2}q^{6}=18$。
又因为$a_{4}· a_{8}=72$，所以$a_{1}q^{3}· a_{1}q^{7}=72$，即$a_{1}^{2}q^{10}=72$。
两式相除得$q^{4}=\frac{72}{18}=4$，所以$q = \pm \sqrt{2}$。
10. 设数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，$S_{n}=\frac{3}{2}a_{n}-1$。
(1) 求证：$\{ a_{n}\}$是等比数列；
(2) 求$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断$\{ a_{n}\}$中是否存在三项成等差数列？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。
(1) 求证：$\{ a_{n}\}$是等比数列；
(2) 求$\{ a_{n}\}$的通项公式，并判断$\{ a_{n}\}$中是否存在三项成等差数列？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。
答案：
10.解
(1)证明：①当$n = 1$时，$a_{1}=\frac{3}{2}a_{1}-1$，$\therefore a_{1}=2$，
②当$n \geq 2$时，$\because S_{n}=\frac{3}{2}a_{n}-1$，$\therefore S_{n - 1}=\frac{3}{2}a_{n - 1}-1$，
$\therefore a_{n}=\frac{3}{2}a_{n}-\frac{3}{2}a_{n - 1}$，
$\therefore a_{n}=3a_{n - 1}$，$\because a_{n} \neq 0$，$\therefore \frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=3$，
$\therefore \{ a_{n}\}$是等比数列.
(2)不存在.理由如下：由
(1)知$\{ a_{n}\}$是等比数列，$a_{1}=2$，公比$q = 3$，$\therefore a_{n}=2 · 3^{n - 1}$，
$\because$将数列的项转化为曲线$y=\frac{2}{3} × 3^{x}$上任意两点确定的线段，除端点外，都在该曲线的上方，即无三点共线，
$\therefore$不存在三项成等差数列.
(1)证明：①当$n = 1$时，$a_{1}=\frac{3}{2}a_{1}-1$，$\therefore a_{1}=2$，
②当$n \geq 2$时，$\because S_{n}=\frac{3}{2}a_{n}-1$，$\therefore S_{n - 1}=\frac{3}{2}a_{n - 1}-1$，
$\therefore a_{n}=\frac{3}{2}a_{n}-\frac{3}{2}a_{n - 1}$，
$\therefore a_{n}=3a_{n - 1}$，$\because a_{n} \neq 0$，$\therefore \frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=3$，
$\therefore \{ a_{n}\}$是等比数列.
(2)不存在.理由如下：由
(1)知$\{ a_{n}\}$是等比数列，$a_{1}=2$，公比$q = 3$，$\therefore a_{n}=2 · 3^{n - 1}$，
$\because$将数列的项转化为曲线$y=\frac{2}{3} × 3^{x}$上任意两点确定的线段，除端点外，都在该曲线的上方，即无三点共线，
$\therefore$不存在三项成等差数列.
查看更多完整答案，请扫码查看
