《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

11. (2024·广东茂名期中)已知数列$\{ x_{n}\}$满足$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{2}{3}$，且$\frac{x_{n}^{2}}{x_{n-1}x_{n+1}}=1$($n\in \mathbf{N}^{*}$，且$n\geq 2$)，则$x_{n}=$ (A)

A.$\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}$
B.$\left( \frac{3}{2}\right)^{n-1}$
C.$\frac{2}{n+1}$
D.$\frac{n+1}{2}$

答案： 11.A 因为$\frac{x_{n}^{2}}{x_{n - 1}x_{n + 1}}=1$，所以$x_{n - 1}x_{n + 1}=x_{n}^{2}$，且$x_{n} \neq 0$，又因为$x_{1}=1,x_{2}=\frac{2}{3}$，即$\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{2}{3}$，可知数列$\{ x_{n}\}$是首项为$1$，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，所以$x_{n}=(\frac{2}{3})^{n - 1}$

12. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为$a_{ij}$($i$，$j\in \mathbf{N}_{+}$)，则$a_{53}$的值为 (C)
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{3}{16}$
……

A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{5}{16}$
D.$\frac{5}{4}$

答案： 12.C 第一列构成首项为$\frac{1}{4}$，公差为$\frac{1}{4}$的等差数列，所以$a_{51}=\frac{1}{4}+(5 - 1) × \frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。又因为从第三行起每一数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第$5$行构成首项为$\frac{5}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，所以$a_{53}=\frac{5}{4} × (\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{16}$。

13. 定义在$(-\infty,0)\cup (0,+\infty )$上的函数$f(x)$，如果对于任意给定的等比数列$\{ a_{n}\}$，$\{ f(a_{n})\}$仍是等比数列，则称$f(x)$为“保等比数列函数”。现有定义在$(-\infty,0)\cup (0,+\infty )$上的如下函数：(1)$f(x)=x^{3}$；(2)$f(x)=e^{x}$；(3)$f(x)=\sqrt{|x|}$；(4)$f(x)=\ln|x|$，其中是“保等比数列函数”的$f(x)$的序号为 (B)

A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(3)
D.(3)(4)

答案： 13.B 根据题意，由等比数列性质知$a_{n}· a_{n + 2}=a_{n + 1}^{2}$。
(1)$f(x)=x^{3}$，则$f(a_{n})f(a_{n + 2})=a_{n}^{3}a_{n + 2}^{3}=a_{n + 1}^{3}a_{n + 1}^{3}=[f(a_{n + 1})]^{3}$，故
(1)是“保等比数列函数”；
(2)$f(x)=e^{x}$，则$f(a_{n})f(a_{n + 2})=e^{n}· e^{n + 2}=e^{n + n + 2} \neq (e^{n + 1})^{2}=[f(a_{n + 1})]^{2}$，故
(2)不是“保等比数列函数”；
(3)$f(x)=\sqrt{|x|}$，则$f(a_{n})f(a_{n + 2})=\sqrt{|a_{n}||a_{n + 2}|}=(\sqrt{|a_{n + 1}|})^{2}=[f(a_{n + 1})]^{2}$，故
(3)是“保等比数列函数”；
(4)$f(x)=\ln|x|$，则$f(a_{n})f(a_{n + 2})=\ln|a_{n}|· \ln|a_{n + 2}| \neq (\ln|a_{n + 1}|)^{2}=[f(|a_{n + 1}|)]^{2}$，故
(4)不是“保等比数列函数”. 故选B.

14. (2024·云南昭通期中)已知数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=1$。
(1) 若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n+1}-a_{n}=1$（$n\in \mathbf{N}^{*}$），证明：数列$\{ 2^{a_{n}}\}$是等比数列；
(2) 若数列$\{ a_{n}\}$是以3为公比的等比数列，证明：数列$\{ \log_{3}a_{n}\}$是等差数列。

答案： 14.证明
(1)易知$2^{a_{n}} \neq 0$，当$n \geq 2$时，$\frac{2^{a_{n}}}{2^{a_{n - 1}}}=2^{a_{n}-a_{n - 1}}=2^{n - (n - 1)}=2^{1}=2$，为常数，所以数列$\{ 2^{a_{n}}\}$是等比数列.
(2)由于数列$\{ a_{n}\}$是以$3$为公比的等比数列，所以$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=3(n \geq 2)$，
则$\log_{3}a_{n}-\log_{3}a_{n - 1}=\log_{3}\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=1$，为常数，
所以数列$\{ \log_{3}a_{n}\}$是等差数列.

15. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”。
(1) 已知等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{2}a_{4}=a_{5}$，$a_{3}-4a_{2}+4a_{1}=0$，求证：数列$\{ a_{n}\}$为“M-数列”；
(2) 已知数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{1}=1$，$\frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$，其中$S_{n}$为数列$\{ b_{n}\}$的前n项和，求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式，并判断数列$\{ b_{n}\}$是否为“M-数列”。

答案： 15.解
(1)证明：设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，则$a_{1} \neq 0,q \neq 0$。
由$\begin{cases}a_{2}a_{4}=a_{5} \\a_{3}-4a_{2}+4a_{1}=0 \end{cases}$，
得$\begin{cases}a_{1}^{2}q^{4}=a_{1}q^{4} \\a_{1}q^{2}-4a_{1}q + 4a_{1}=0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}a_{1}=1 \\q = 2 \end{cases}$。
因此数列$\{ a_{n}\}$为“$M -$数列”。
(2)因为$\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n + 1}}$，所以$b_{n} \neq 0$。
由$b_{1}=1,S_{1}=b_{1}$，得$\frac{1}{1}=\frac{2}{1}-\frac{2}{b_{2}}$，则$b_{2}=2$。
由$\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n + 1}}$，得$S_{n}=\frac{2(b_{n + 1}-b_{n})}{b_{n}b_{n + 1}}$，
当$n \geq 2$时，由$b_{n}=S_{n}-S_{n - 1}$，
得$b_{n}=\frac{b_{n}b_{n + 1}}{2(b_{n + 1}-b_{n})}-\frac{b_{n - 1}b_{n}}{2(b_{n}-b_{n - 1})}$，
整理得$b_{n + 1}+b_{n - 1}=2b_{n}$。
所以数列$\{ b_{n}\}$是首项和公差均为$1$的等差数列，即$b_{n}=n$。
因此数列$\{ b_{n}\}$不是“$M -$数列”。