《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 下列函数中，存在极值的函数为 (D)

A.$ y = e^x $
B.$ y = \ln x $
C.$ y = \frac{2}{x} $
D.$ y = x^2 - 2x $

答案： 1.D A：因为函数$y=e^x$是实数集上的增函数，所以函数$y=e^x$没有极值；B：因为函数$y=\ln x$是正实数集上的增函数，所以函数$y=\ln x$没有极值；C：因为函数$y=\frac{2}{x}$在区间$(0,+\infty)$，$(-\infty,0)$上是减函数，所以函数$y=\frac{2}{x}$没有极值；D：因为$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，所以该函数在$(1,+\infty)$上是增函数，在$(-\infty,1)$上是减函数，因此$x=1$是函数的极小值点，符合题意，故选D.

2. 函数$ f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 8x $在区间$[-3, 1]$上 (C)

A.有极大值和极小值
B.有极大值，无极小值
C.有极小值，无极大值
D.没有极值

答案： 2.C 由$f(x)=-\frac{2}{3}x^3+8x$，得$f'(x)=-2x^2+8$，令$f'(x)=0$，得$x=-2$或$x=2$(舍去)，当$-3\leq x＜-2$时，$f'(x)＜0$，当$-2＜x\leq1$时，$f'(x)＞0$，所以$f(x)$在$[-3,-2)$上单调递减，在$(-2,1]$上单调递增，所以$x=-2$是$f(x)$在$[-3,1]$上的极小值点，无极大值，故选C.

3. (2024·湖南益阳一中月考)已知函数$ f(x) $的导函数$ f'(x) $的图象如图所示，则下列说法正确的是 (C)


A.$ f(x) $有4个极值点，其中有2个极大值点
B.$ f(x) $有4个极值点，其中有2个极小值点
C.$ f(x) $有3个极值点，其中有2个极大值点
D.$ f(x) $有3个极值点，其中有2个极小值点
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答案： 3.C 函数$f(x)$的极值点个数由$f'(x)$两侧异号的零点个数决定，由题可知，$f'(x)$的零点有4个，其中三个异号零点，所以极值点有3个；$f'(x)$两侧异号的零点中有2个先正后负的零点、1个先负后正的零点，所以极大值点有2个、极小值点有1个.

4. 已知函数$ f(x) = x^2 - 8x + 6\ln x + 1 $，则$ f(x) $的极大值为 (B)

A.10
B.-6
C.-7
D.0

答案： 4.B 函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=2x-8+\frac{6}{x}=\frac{2(x-1)(x-3)}{x}$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=3$，故当$x$变化时，$f'(x)$，$f(x)$的变化情况如表，
$x$ $(0,1)$ $1$ $(1,3)$ $3$ $(3,+\infty)$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以$f(x)$的极大值为$f(1)=-6$，故选B.

5. (多选)(2024·湖北孝感期中)下列说法正确的是 (CD)

A.函数的极大值一定比极小值大
B.对于可导函数$ f(x) $，若$ f'(x_0) = 0 $，则$ x_0 $为函数的一个极值点
C.若$ f'(x) ＞ 0 $在$(a, b)$内恒成立，则函数$ f(x) $在$(a, b)$内一定没有极值
D.一元三次函数在$\mathbf{R}$上可能不存在极值

答案： 5.CD 根据极值定义，函数的极大值不一定比极小值大，故A错误；只有当$f'(x_0)=0$，且$f'(x_0)$左、右异号时，$x_0$才为$f(x)$的极值点，故B错误；$f(x)$在$(a,b)$内单调递增，所以没有极值，故C正确；三次函数求导以后为二次函数，若$f'(x)\leq0$或$f'(x)\geq0$恒成立，则$f(x)$无极值，故D正确.

6. (多选)已知函数$ f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1 $，则 (BD)

A.$ f(x) $的极小值为0
B.$ f(x) $的极大值为$\frac{31}{27}$
C.$ f(x) $在区间$(\frac{1}{3}, 1)$上单调递增
D.$ f(x) $在区间$(-\infty, 0)$上单调递增

答案： 6.BD 因为$f(x)=x^3-2x^2+x+1$，该函数的定义域为$\mathbf{R}$，所以$f'(x)=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$，令$f'(x)=0$，可得$x=\frac{1}{3}$或$1$，当$x$变化时，$f'(x)$，$f(x)$的变化情况如表所示，
$x$ $(-\infty,\frac{1}{3})$ $\frac{1}{3}$ $(\frac{1}{3},1)$ $1$ $(1,+\infty)$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增 极大值$\frac{31}{27}$ 单调递减 极小值$1$ 单调递增
易知B、D正确，A、C错误.

7. 函数$ f(x) = (x^2 - 1)^2 + 2 $的极值点是$-1,1,0$.

答案： 7.$-1,1,0$
解析 $f'(x)=4x(x^2-1)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=\pm1$，当$x$变化时，$f'(x)$，$f(x)$的变化情况如表，
$x$ $(-\infty,-1)$ $-1$ $(-1,0)$ $0$ $(0,1)$ $1$ $(1,+\infty)$
$f'(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
综上，$f(x)$的极值点为$-1,1,0$.

8. (2025·安徽合肥期末)已知$ a ＞ 0 $，函数$ f(x) = ax^3 - \frac{a^2}{2}x + 2 $有两个不同极值点$ x_1, x_2 $，则$ f(x_1) + f(x_2) = $4.

答案： 8.4
解析 由$f(x)=ax^3-\frac{a^2}{2}x+2$，可得$f'(x)=3ax^2-\frac{a^2}{2}$，令$f'(x)=0$，即$3ax^2-\frac{a^2}{2}=0$，解得$x_1=\sqrt{\frac{a}{6}}$，$x_2=-\sqrt{\frac{a}{6}}$，所以$f(x_1)+f(x_2)=f(\sqrt{\frac{a}{6}})+f(-\sqrt{\frac{a}{6}})=4$.

9. (2024·海南海口期中)已知函数$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + b $（$ a, b \in \mathbf{R} $）的图象过点$(1, \frac{2}{3})$，且$ f'(-1) = -1 $。
(1) 求$ a, b $的值；
(2) 求函数$ f(x) $的极值。

答案： 9.解
(1)$\because f(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+b$，$\therefore f'(x)=x^2+2ax$.
由题意得$\begin{cases} \frac{1}{3}+a+b=\frac{2}{3}, \\ 1-2a=-1, \end{cases}$解得$a=1$，$b=-\frac{2}{3}$.
(2)由
(1)得，$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-\frac{2}{3}$，$\therefore f'(x)=x^2+2x$，令$f'(x)=0$，解得$x=-2$或$x=0$，当$x\in(-\infty,-2)$时，$f'(x)＞0$，则函数$f(x)$单调递增；当$x\in(-2,0)$时，$f'(x)＜0$，则函数$f(x)$单调递减；当$x\in(0,+\infty)$时，$f'(x)＞0$，则函数$f(x)$单调递增，故当$x=-2$时，$f(x)$有极大值，为$f(-2)=\frac{2}{3}$；当$x=0$时，$f(x)$有极小值，为$f(0)=-\frac{2}{3}$.
综上，函数$f(x)$的极大值为$\frac{2}{3}$，极小值为$-\frac{2}{3}$.