《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 某物体做直线运动，若它所经过的位移$ s $与时间$ t $的函数关系为$ s(t)=\frac{1}{2}t^{2}+t $，则这个物体在时间段$[1,2]$内的平均速度为(D)

A.$ 2 $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ 3 $
D.$ \frac{5}{2} $

答案： 1.D $\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\frac{1}{2} × 2^{2} + 2 - (\frac{1}{2} + 1)}{2 - 1} = \frac{5}{2}$.

2. 如果某质点运动的位移$ s $(单位：米)与时间$ t $(单位：秒)之间的函数关系为$ s(t)=\frac{2}{t} $，那么该质点在$ t = 3 $秒时的瞬时速度为(D)

A.$ \frac{2}{3} $米/秒
B.$ -\frac{2}{3} $米/秒
C.$ \frac{2}{9} $米/秒
D.$ -\frac{2}{9} $米/秒

答案： 2.D $\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(3 + \Delta t) - s(3)}{\Delta t} = \frac{\frac{2}{3 + \Delta t} - \frac{2}{3}}{\Delta t} = - \frac{2}{3(3 + \Delta t)}$,
所以$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \left[ - \frac{2}{3(3 + \Delta t)} \right] = - \frac{2}{9}$.

3. 曲线$ y = x^{2} $在点$ (\sqrt{3},3) $处切线的斜率为(B)

A.$ \sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 3 $
D.$ 6 $

答案： 3.B 曲线$y = x^{2}$在点$(\sqrt{3},3)$处切线的斜率为
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{3} + \Delta x)^{2} - (\sqrt{3})^{2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2\sqrt{3} + \Delta x) = 2\sqrt{3}$.

4. 一个物体做直线运动，位移$ s $(单位：$ m $)与时间$ t $(单位：$ s $)之间的函数关系为$ s(t)=5t^{2}+mt $，且这一物体在$ 2\leqslant t\leqslant 3 $这段时间内的平均速度为$ 26 \ m/s $，则实数$ m $的值为(B)

A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 6 $

答案： 4.B 由已知，得$\frac{s(3) - s(2)}{3 - 2} = 26$，即$(5 × 3^{2} + 3m) - (5 × 2^{2} + 2m) = 26$，解得$m = 1$.

5. 物体甲、乙在时间$ 0 $到$ t_{1} $范围内的路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(C)


A.在$ 0 $到$ t_{0} $范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在$ 0 $到$ t_{0} $范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在$ t_{0} $到$ t_{1} $范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在$ t_{0} $到$ t_{1} $范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

答案： 5.C 在$0$到$t_{0}$范围内，甲、乙的平均速度都为$\frac{s_{0}}{t_{0}}$，故A、B错误；在$t_{0}$到$t_{1}$范围内，甲的平均速度为$\frac{s_{2} - s_{0}}{t_{1} - t_{0}}$，乙的平均速度为$\frac{s_{1} - s_{0}}{t_{1} - t_{0}}$，因为$s_{2} - s_{0} ＞ s_{1} - s_{0}$，$t_{1} - t_{0} ＞ 0$，所以在$t_{0}$到$t_{1}$范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误.

6. (多选)在高台跳水运动中，$ t \ s $时运动员相对于水面的高度(单位：$ m $)是$ h(t)=-4.9t^{2}+6.5t + 10 $，判断下列说法正确的是(BD)

A.运动员在$ t = 1 \ s $时的瞬时速度是$ 3.3 \ m/s $
B.运动员在$ t = 1 \ s $时的瞬时速度是$ -3.3 \ m/s $
C.运动员在$ t = 1 \ s $附近以$ 3.3 \ m/s $的速度上升
D.运动员在$ t = 1 \ s $附近以$ 3.3 \ m/s $的速度下降

答案： 6.BD 由已知，得$h(1) = - 4.9 + 6.5 + 10 = 11.6$，则在$t = 1s$时的瞬时速度为
$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta h}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{- 4.9(1 + \Delta t)^{2} + 6.5(1 + \Delta t) + 10 - 11.6}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (- 4.9\Delta t - 3.3) = - 3.3$，因此该运动员在$t = 1s$附近以$3.3m/s$的速度下降，故选BD.

7. 若抛物线$ f(x)=4x^{2} $在点$ (x_{0},f(x_{0})) $处切线的斜率为$ 8 $，则$ x_{0}=$1。

答案： 7.1 解析$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (4\Delta x + 8x_{0}) = 8x_{0} = 8$，解得$x_{0} = 1$.

8. (2025·广东深圳期末)一条水管中流出的水量$ y $(单位：$ m^3 $)关于时间$ t $(单位：$ s $)的函数为$ y = t^{2}+7t + 15(0\leqslant t\leqslant 8) $，则其在$ t = $2$ s $时的水流瞬时速度为$ 11 \ m^3/s $。

答案： 8.2 解析 设在$t = t_{0}$时的水流瞬时速度为$11m^{3}/s$，又$\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{(t_{0} + \Delta t)^{2} + 7(t_{0} + \Delta t) + 15 - (t_{0}^{2} + 7t_{0} + 15)}{\Delta t} = 2t_{0} + \Delta t + 7$，所以$\lim_{\Delta t \to 0} (2t_{0} + \Delta t + 7) = 11$，解得$t_{0} = 2$.

9. 某物体按照$ y = s(t)=3t^{2}+2t + 4 $（$ s $的单位：$ m $）的规律做直线运动，求自运动开始到$ 4 \ s $时物体的平均速度和$ 4 \ s $时的瞬时速度。

答案： 9.解 自运动开始到$4s$时物体的平均速度为$\overline{v} = \frac{s(4) - s(0)}{4 - 0} = 14(m/s)$.
由于$\Delta y = 3(4 + \Delta t)^{2} + 2(4 + \Delta t) + 4 - (3 × 4^{2} + 2 × 4 + 4) = 26\Delta t + 3(\Delta t)^{2}$，所以$\frac{\Delta y}{\Delta t} = 26 + 3\Delta t$，即$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = 26$，
所以$4s$时物体的瞬时速度为$26m/s$.