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2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. (2025·河南焦作期末)已知函数$ f(x)=x^2 - \ln x $，则$ f'\left( \frac{1}{2} \right) = $(
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$3$
A
)A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$3$
答案：
1.A 因为$f(x)=x^{2}-\ln x$，所以$f^{\prime}(x)=2x-\frac{1}{x}$，则
$f^{\prime}(\frac{1}{2})=2×\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$。
$f^{\prime}(\frac{1}{2})=2×\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$。
2. 一个做直线运动的质点的位移$ s(m) $与时间$ t(s) $的关系式为$ s = 90t - 5t^2 $，则该质点的瞬时速度为$ 0\ m/s $时，$ t = $(
A.$15\ s$
B.$12\ s$
C.$9\ s$
D.$4\ s$
C
)A.$15\ s$
B.$12\ s$
C.$9\ s$
D.$4\ s$
答案：
2.C 根据题意，$s = 90t - 5t^{2}$，则$s^{\prime}=90 - 10t$，若该质点的瞬时速度为$0m/s$，即$s^{\prime}=90 - 10t = 0$，解得$t = 9$。
3. (2024·福建福州期中)已知函数$ f(x) = e^x + ax $的导函数为$ f'(x) $，若$ f'(0) = 0 $，则$ f(1) + f(0) = $(
A.$-1$
B.$e$
C.$1$
D.$e - 1$
B
)A.$-1$
B.$e$
C.$1$
D.$e - 1$
答案：
3.B 由$f(x)=e^{x}+ax$，得$f^{\prime}(x)=e^{x}+a$，所以$f^{\prime}(0)=1 + a = 0$，解得$a = - 1$，所以$f(x)=e^{x}-x$，所以$f(1)+f(0)=e - 1 + 1 = e$。
4. (2024·江苏南京期中)已知函数$ f(x) = 2f'(1)x - x^2 + \ln x $，则$ f'(1) = $(
A.$1$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
A
)A.$1$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案：
4.A 对$f(x)=2f^{\prime}(1)x - x^{2}+\ln x$求导数，得$f^{\prime}(x)=2f^{\prime}(1)-2x+\frac{1}{x}$，再取$x = 1$就有$f^{\prime}(1)=2f^{\prime}(1)-2 + 1$，解得$f^{\prime}(1)=1$。
5. (多选)如图，$ y = f(x) $是可导函数，直线$ l:y = kx + 2 $是曲线$ y = f(x) $在$ x = 3 $处的切线，令$ g(x) = xf(x) $，其中$ g'(x) $是$ g(x) $的导函数，则(
A.$ f(3) = 1 $
B.$ f'(3) = 1 $
C.$ g(3) = 3 $
D.$ g'(3) = 0 $
ACD
)A.$ f(3) = 1 $
B.$ f'(3) = 1 $
C.$ g(3) = 3 $
D.$ g'(3) = 0 $
答案：
5.ACD 由题意可知，$f(3)=1$，故A正确；点$(3,1)$在直线$y = kx + 2$上，故$1 = 3k + 2$，$k = f^{\prime}(3)=-\frac{1}{3}$，故B错误；$g(x)=xf(x)$，则$g(3)=3f(3)=3$，故C正确；$g^{\prime}(x)=f(x)+xf^{\prime}(x)$，则$g^{\prime}(3)=f(3)+3f^{\prime}(3)=1 + 3×(-\frac{1}{3})=0$，故D正确。
6. (多选)已知函数$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 $的图象在点$ (m, f(m)) $处的切线为$ l_m $，则(
A.$ l_m $的斜率的最小值为$-2$
B.$ l_m $的斜率的最小值为$-3$
C.$ l_0 $的方程为$ y = 1 $
D.$ l_{-1} $的方程为$ y = 9x + 6 $
BCD
)A.$ l_m $的斜率的最小值为$-2$
B.$ l_m $的斜率的最小值为$-3$
C.$ l_0 $的方程为$ y = 1 $
D.$ l_{-1} $的方程为$ y = 9x + 6 $
答案：
6.BCD 因为$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x = 3(x - 1)^{2}-3\geqslant-3$，所以$l_{m}$的斜率的最小值为$-3$。因为$f^{\prime}(0)=0$，$f(0)=1$，所以$l_{0}$的方程为$y = 1$。因为$f^{\prime}(-1)=9$，$f(-1)=-3$，所以$l_{-1}$的方程为$y + 3 = 9(x + 1)$，即$y = 9x + 6$。故选BCD。
7. 设函数$ f(x) = e^x(x^2 - ax + 3) $，若$ x = 0 $是函数$ f'(x) $的一个零点，则实数$ a = $
3
.
答案：
7.3
解析 由函数$f(x)=e^{x}(x^{2}-ax + 3)$，可得$f^{\prime}(x)=e^{x}(x^{2}-ax + 3)+e^{x}(2x - a)=e^{x}[x^{2}+(2 - a)x+(3 - a)]$，因为$x = 0$是函数$f^{\prime}(x)$的一个零点，所以$f^{\prime}(0)=3 - a = 0$，解得$a = 3$。
解析 由函数$f(x)=e^{x}(x^{2}-ax + 3)$，可得$f^{\prime}(x)=e^{x}(x^{2}-ax + 3)+e^{x}(2x - a)=e^{x}[x^{2}+(2 - a)x+(3 - a)]$，因为$x = 0$是函数$f^{\prime}(x)$的一个零点，所以$f^{\prime}(0)=3 - a = 0$，解得$a = 3$。
8. (2024·云南曲靖期中)已知函数$ f(x) = e^x - x^2 $，则曲线$ y = f(x) $在点$ (0, f(0)) $处的切线方程为
$x - y + 1 = 0$
.
答案：
8.$x - y + 1 = 0$
解析 函数$f(x)=e^{x}-x^{2}$，求导得$f^{\prime}(x)=e^{x}-2x$，则$f^{\prime}(0)=1$，而$f(0)=1$，所以所求切线方程为$y - 1 = x$，即$x - y + 1 = 0$。
解析 函数$f(x)=e^{x}-x^{2}$，求导得$f^{\prime}(x)=e^{x}-2x$，则$f^{\prime}(0)=1$，而$f(0)=1$，所以所求切线方程为$y - 1 = x$，即$x - y + 1 = 0$。
9. 求下列函数的导数.
(1) $ y = \frac{\sin x}{\cos x} $；(2) $ y = \frac{x + 1}{x - 1} $；(3) $ y = \frac{e^x + 1}{e^x - 1} $.
(1) $ y = \frac{\sin x}{\cos x} $；(2) $ y = \frac{x + 1}{x - 1} $；(3) $ y = \frac{e^x + 1}{e^x - 1} $.
答案：
9.解
(1)$y^{\prime}=(\frac{\sin x}{\cos x})^{\prime}=\frac{\cos x(\sin x)^{\prime}-\sin x(\cos x)^{\prime}}{\cos^{2}x}$
$=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}$。
(2)$y^{\prime}=(\frac{x + 1}{x - 1})^{\prime}$
$=\frac{(x - 1)(x + 1)^{\prime}-(x + 1)(x - 1)^{\prime}}{(x - 1)^{2}}$
$=\frac{x - 1 - x - 1}{(x - 1)^{2}}=\frac{-2}{(x - 1)^{2}}$。
(3)$y^{\prime}=(\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1})^{\prime}$
$=\frac{(e^{x}-1)(e^{x}+1)^{\prime}-(e^{x}+1)(e^{x}-1)^{\prime}}{(e^{x}-1)^{2}}$
$=\frac{(e^{x}-1)e^{x}-(e^{x}+1)e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$
$=\frac{e^{2x}-e^{x}-e^{2x}-e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}=\frac{-2e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$。
(1)$y^{\prime}=(\frac{\sin x}{\cos x})^{\prime}=\frac{\cos x(\sin x)^{\prime}-\sin x(\cos x)^{\prime}}{\cos^{2}x}$
$=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}$。
(2)$y^{\prime}=(\frac{x + 1}{x - 1})^{\prime}$
$=\frac{(x - 1)(x + 1)^{\prime}-(x + 1)(x - 1)^{\prime}}{(x - 1)^{2}}$
$=\frac{x - 1 - x - 1}{(x - 1)^{2}}=\frac{-2}{(x - 1)^{2}}$。
(3)$y^{\prime}=(\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1})^{\prime}$
$=\frac{(e^{x}-1)(e^{x}+1)^{\prime}-(e^{x}+1)(e^{x}-1)^{\prime}}{(e^{x}-1)^{2}}$
$=\frac{(e^{x}-1)e^{x}-(e^{x}+1)e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$
$=\frac{e^{2x}-e^{x}-e^{2x}-e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}=\frac{-2e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}$。
10. 已知函数$ f(x) = 2x\ln x + 2f'(1)x $.
(1) 求$ f'(1) $的值；
(2) 求曲线$ f(x) $在点$ (e^2, f(e^2)) $处的切线方程.
(1) 求$ f'(1) $的值；
(2) 求曲线$ f(x) $在点$ (e^2, f(e^2)) $处的切线方程.
答案：
10.解
(1)因为$f(x)=2x\ln x + 2f^{\prime}(1)x$，
所以$f^{\prime}(x)=2\ln x + 2 + 2f^{\prime}(1)$，
代入$x = 1$得$f^{\prime}(1)=2\ln 1 + 2 + 2f^{\prime}(1)=2 + 2f^{\prime}(1)$，
所以$f^{\prime}(1)=-2$。
(2)由
(1)可得$f(x)=2x\ln x - 4x$，
则$f^{\prime}(x)=2\ln x - 2$，
所以$f(e^{2})=2e^{2}\ln e^{2}-4e^{2}=0$，
$f^{\prime}(e^{2})=2\ln e^{2}-2 = 2$，
所以切线方程为$y - 0 = 2(x - e^{2})$，即$2x - y - 2e^{2}=0$。
(1)因为$f(x)=2x\ln x + 2f^{\prime}(1)x$，
所以$f^{\prime}(x)=2\ln x + 2 + 2f^{\prime}(1)$，
代入$x = 1$得$f^{\prime}(1)=2\ln 1 + 2 + 2f^{\prime}(1)=2 + 2f^{\prime}(1)$，
所以$f^{\prime}(1)=-2$。
(2)由
(1)可得$f(x)=2x\ln x - 4x$，
则$f^{\prime}(x)=2\ln x - 2$，
所以$f(e^{2})=2e^{2}\ln e^{2}-4e^{2}=0$，
$f^{\prime}(e^{2})=2\ln e^{2}-2 = 2$，
所以切线方程为$y - 0 = 2(x - e^{2})$，即$2x - y - 2e^{2}=0$。
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