《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知$ a = \sqrt{3} + \sqrt{2} $，$ b = \sqrt{3} - \sqrt{2} $，则$ a $，$ b $的等差中项为 (B)

A.$ \sqrt{2} $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ \frac{1}{\sqrt{3}} $
D.$ \frac{1}{\sqrt{2}} $

答案： 1.B 由题意知$a$，$b$的等差中项为$\frac{a+b}{2}= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2}=\sqrt{3}$.

2. (2024·四川泸州期中)等差数列$ 5,8,11,14,·s $的第11项为 (C)

A.29
B.32
C.35
D.37

答案： 2.C 设该等差数列为$\{ a_{n}\}$，则由题意得$a_{1}=5$，公差$d=8 - 5=3$，则$a_{n}=5+3(n - 1)=3n+2$，则$a_{11}=3×11+2=35$.

3. (2025·河南开封期末)已知等差数列$ \{a_n\} $中，$ a_2 + a_5 = 8 $，$ a_2 - a_5 = -6 $，则$ a_1 = $ (B)

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.0
D.1

答案： 3.B 设公差为$d$，因为$a_{2}+a_{5}=8$，$a_{2}-a_{5}=-6$，所以$\begin{cases}a_{1}+d+a_{1}+4d=8,\\a_{1}+d-a_{1}-4d=-6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=-1,\\d=2.\end{cases}$

4. 下列数列的通项公式中，能得到$ \{a_n\} $为等差数列的是 (B)

A.$ a_n = n^2 + 2 $
B.$ a_n = 2n + 2 $
C.$ a_n = 2^n + 2 $
D.$ a_n = \log_2 n + 2 $

答案： 4.B 对于A，$a_{n + 1}-a_{n}=(n + 1)^{2}-n^{2}=2n + 1$不为常数，故A错误；对于B，$a_{n + 1}-a_{n}=2(n + 1)-2n=2$为常数，故B正确；对于C，$a_{n + 1}-a_{n}=2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$不为常数，故C错误；对于D，$a_{n + 1}-a_{n}=\log_{2}(n + 1)-\log_{2}n=\log_{2}\frac{n + 1}{n}$不为常数，故D错误.故选B.

5. (多选)已知在等差数列$ \{a_n\} $中，$ a_2 + a_9 + a_{12} - a_{14} + a_{20} - a_7 = 8 $，则 (BC)

A.$ a_{10} = 4 $
B.$ a_{11} = 4 $
C.$ a_9 - \frac{1}{4}a_3 = 3 $
D.$ a_{10} - \frac{1}{4}a_3 = 3 $

答案： 5.BC 由题意，设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则$a_{2}+a_{9}+a_{12}-a_{14}+a_{20}-a_{7}=2a_{1}+20d=2(a_{1}+10d)=8$，即$a_{11}=a_{1}+10d=4$，所以$a_{9}-\frac{1}{4}a_{3}=a_{1}+8d-\frac{1}{4}(a_{1}+2d)=\frac{3}{4}(a_{1}+10d)=3$，故选BC.

6. (多选)对于数列$ \{a_n\} $，若$ a_1 = 1 $，$ a_4 = 2 $，$ a_{n + 2} = a_n + 2 (n \in \mathbf{N}^*) $，则下列说法正确的是 (ACD)

A.$ a_2 = 0 $
B.数列$ \{a_n\} $是递增数列
C.数列$ \{a_{2n - 1}\} $是等差数列
D.数列$ \{a_n + a_{n + 1}\} $是等差数列

答案： 6.ACD 对于A，因为$a_{1}=2$，$a_{4}=a_{2}+2$，所以$a_{2}=0$，故A正确；对于B，因为$a_{1}=1$，$a_{2}=0$，所以$a_{1}＞a_{2}$，故B错误；
对于C，$a_{2(n + 1)}-1-a_{2n - 1}=a_{2n + 1}-a_{2n - 1}=2(n\in N^{*})$，故数列$\{ a_{2n - 1}\}$是等差数列，故C正确；对于D，$(a_{n + 1}+a_{n + 2})-(a_{n}+a_{n + 1})=a_{n + 2}-a_{n}=2(n\in N^{*})$，故数列$\{ a_{n}+a_{n + 1}\}$是等差数列，故D正确.

7. 某校举行元旦晚会，高一年级所表演的节目为大合唱，共站六排，且每排人数遵循等差数列，已知第一、三、五排的人数之和为36人，第四排比第二排多4人，则第六排有18 人。

答案： 7.18 解析 设六排人数依次为$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，$a_{5}$，$a_{6}$，公差为$d$，因为$a_{1}+a_{3}+a_{5}=3a_{1}+6d=36$，可得$a_{1}=12-2d$，且$a_{4}-a_{2}=2d=4$，即$d=2$，则$a_{1}=12-2d=8$，所以$a_{6}=a_{1}+5d=18$.

8. 在等差数列$ \{a_n\} $中，若$ a_3 = 4 $，$ a_7 = 16 $，则$ \{a_n\} $的通项公式为$a_{n}=3n - 5$ 。

答案： 8.$a_{n}=3n - 5$
解析 由$a_{3}=4$，$a_{7}=16$可得公差$d=\frac{a_{7}-a_{3}}{4}=3$，故$a_{n}=a_{3}+(n - 3)d=4+3(n - 3)=3n - 5$.

9. 已知$ \{a_n\} $为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式。
（1）$ a_3 = 5 $，$ a_7 = 13 $；
（2）前三项为$ a $，$ 2a - 1 $，$ 3 - a $。

答案： 9.解
(1)等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}=5$，$a_{7}=13$，则$\begin{cases}a_{1}+2d=5,\\a_{1}+6d=13,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=1,\\d=2,\end{cases}$于是$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=2n - 1$，所以数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=2n - 1$.
(2)由等差数列$\{ a_{n}\}$的前三项为$a$，$2a - 1$，$3 - a$，得$2(2a - 1)=a + 3 - a$，解得$a=\frac{5}{4}$，于是等差数列$\{ a_{n}\}$的公差$d'=2a - 1 - a=a - 1=\frac{1}{4}$，所以$a_{n}=a+(n - 1)d'=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}(n - 1)=\frac{n}{4}+1$，所以数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=\frac{n}{4}+1$.