《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}+a_{5}+a_{9}=30$，则$a_{2}+a_{8}=$(C)

A.12
B.18
C.20
D.30

答案： 1.C 由已知得$3a_5=30$，故$a_5=10$，所以$a_2+a_8=2a_5=20$.

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{3}+a_{7}=32$，$a_{6}-a_{4}=6$，则$a_{1}=$(B)

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 2.B 在等差数列$\{a_n\}$中，设其公差为$d$，$\because a_3+a_7=2a_5=32$，$\therefore a_5=16$，$\because a_6-a_4=2d=6$，$\therefore d=3$，$\therefore a_1=a_5-4d=4$，故选B.

3. (2024·福建福州期中)已知$\{ a_{n}\}$为递增的等差数列，$a_{4}a_{5}=15$，$a_{3}+a_{6}=8$，则$a_{4}=$(A)

A.3
B.$\frac{11}{3}$
C.3或5
D.$\frac{11}{3}$或$\frac{13}{3}$

答案： 3.A $\{a_n\}$为递增的等差数列，则$a_4＜a_5$.由$a_3+a_6=8$，得$a_4+a_5=8$，与$a_4a_5=15$联立，解得$a_4=3$，$a_5=5$.

4. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s +a_{101}=0$，则有(C)

A.$a_{1}+a_{101}＞0$
B.$a_{1}+a_{101}＜0$
C.$a_{3}+a_{99}=0$
D.$a_{51}=51$

答案： 4.C 由等差数列的性质得，$a_1+a_{101}=a_2+a_{100}=·s=a_{50}+a_{52}=2a_{51}$，由于$a_1+a_2+a_3+·s+a_{101}=0$，所以$a_{51}=0$，故$a_1+a_{101}=a_3+a_{99}=2a_{51}=0$.

5. (多选)已知$\{ a_{n}\}$为递增的等差数列且各项均为正数，$a_{5}=2$，则(BCD)

A.公差$d$的取值范围是$(-\infty,\frac{1}{2})$
B.$2a_{7}=a_{9}+2$
C.$a_{8}+a_{4}＞a_{6}+a_{5}$
D.$a_{1}+a_{9}=4$

答案： 5.BCD 由题意得$d＞0$，$a_1＞0$，$a_5=2$，所以$a_1=2-4d＞0$，解得$d＜\frac{1}{2}$，所以$d\in(0,\frac{1}{2})$，故A错误；$2a_7-a_9=(a_5+a_9)-a_9=a_5=2$，故B正确；$a_8+a_4-(a_6+a_5)=a_8-a_6-(a_5-a_4)=2d-d=d＞0$，故$a_8+a_4＞a_6+a_5$，故C正确；由等差数列的性质知，$a_1+a_9=2a_5=4$，故D正确.

6. (多选)数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2a_{n}+1}$，$a_{1}=1$，则下列说法正确的是(AD)

A.数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是等差数列
B.数列$\{ a_{n}\}$有最小项
C.数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2n-1$
D.数列$\{ a_{n}\}$为递减数列

答案： 6.AD 因为$a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$，所以$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2a_n+1}{a_n}=2+\frac{1}{a_n}$，即$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2$，所以$\{\frac{1}{a_n}\}$是首项为$\frac{1}{a_1}=1$，公差为2的等差数列，故A正确.由$\frac{1}{a_n}=1+2(n-1)=2n-1$，则$a_n=\frac{1}{2n-1}$，所以数列$\{a_n\}$为递减数列，有最大项，无最小项，故D正确，B、C错误.

7. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{3}+a_{5}=105$，$a_{2}+a_{4}+a_{6}=99$，则$\frac{a_{3}}{a_{4}}=$$\frac{35}{33}$。

答案： 7.$\frac{35}{33}$
因为$\{a_n\}$为等差数列，所以$a_1+a_3+a_5=3a_3=105$，$a_2+a_4+a_6=3a_4=99$，所以$\frac{a_3}{a_4}=\frac{3a_3}{3a_4}=\frac{105}{99}=\frac{35}{33}$.

8. 已知无穷等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公差为$d$，将所有序号为3的倍数与序号为7的倍数的项取出分别组成新的等差数列，记为$\{ b_{n}\}$，$\{ c_{n}\}$，其公差分别为$d_{1}$，$d_{2}$，则$d_{2}-d_{1}=$4d。

答案： 8.4d
解析 由题意可得数列$\{b_n\}$中所包含的项分别为$a_3$，$a_6$，$·s$，即公差$d_1=a_6-a_3=3d$；
数列$\{c_n\}$中所包含的项分别为$a_7$，$a_{14}$，$a_{21}$，$·s$，即公差$d_2=a_{14}-a_7=7d$，所以$d_2-d_1=4d$.

9. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，设其公差为$d$。
(1) 已知$a_{2}+a_{3}+a_{23}+a_{24}=48$，求$a_{13}$；
(2) 已知$a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=34$，$a_{2}· a_{5}=52$，求$d$。

答案： 9.解
(1)因为$a_2+a_3+a_{23}+a_{24}=4a_{13}=48$，所以$a_{13}=12$.
(2)因为$a_2+a_3+a_4+a_5=34$，$a_2· a_5=52$①，
又$a_2+a_5=a_3+a_4$，所以$a_2+a_5=17$②，
即$\begin{cases}a_2· a_5=52,\\a_2+a_5=17,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_2=13,\\a_5=4\end{cases}$或$\begin{cases}a_2=4,\\a_5=13,\end{cases}$
当$\begin{cases}a_2=13,\\a_5=4\end{cases}$时，$d=\frac{a_5-a_2}{5-2}=-3$，
当$\begin{cases}a_2=4,\\a_5=13\end{cases}$时，$d=\frac{a_5-a_2}{5-2}=3$，所以$d=-3$或$d=3$.