《2025年绿色通道45分钟课时作业与单元测评高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 根据所给的函数表达式，先写出函数曲线过两指定点$ P,Q $的割线的斜率，再让指定点$ Q $沿曲线趋于点$ P $，求出曲线在点$ P $处切线的斜率。
(1) $ L(x)=\frac{x}{2}+1 $，$ P(2u,u + 1) $，$ Q(2u + h,L(2u + h)) $；
(2) $ f(x)=x - x^{2} $，$ P(2,-2) $，$ Q(2 + h,f(2 + h)) $。

答案： 10.解
(1)$L(2u + h) = u + \frac{h}{2} + 1$，
$u + \frac{h}{2} + 1 - u - 1 = \frac{\frac{h}{2}}{2u + h - 2u} = \frac{h}{2} · \frac{1}{h} = \frac{1}{2}$，
所以该曲线在点P处切线的斜率为$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} · \frac{}{}}= \frac{1}{2}$（此处原书可能印刷错误）。
(2)$f(2 + h) = (2 + h) - (2 + h)^{2} = - h^{2} - 3h - 2$，
所以$k_{PQ} = \frac{- h^{2} - 3h - 2 + 2}{2 + h - 2} = \frac{- h^{2} - 3h}{h} = - h - 3$，
所以该曲线在点P处切线的斜率为$\lim_{h \to 0} (- h - 3) = - 3$.

11. (2024·山东青岛一中月考)已知抛物线$ y = 2x^{2}-1 $上的一点$ (1,1) $及其邻近一点$ (1+\Delta x,1+\Delta y) $，则这两点所在割线的斜率为(C)

A.$ 2+\Delta x $
B.$ 2 - 2\Delta x $
C.$ 4 + 2\Delta x $
D.$ 4 $

答案： 11.C 这两点所在割线的斜率为$k = \frac{2(1 + \Delta x)^{2} - 1 - 1}{\Delta x} = \frac{4 + 2\Delta x}{4 + 2\Delta x}$（此处原书可能印刷错误）.

12. 一质点沿直线运动，位移$ s $与时间$ t $之间的关系为$ s(t)=t^{2} $，质点在$ t_{0} $到$ t_{0}+\Delta t(\Delta t ＞ 0) $之间的平均速度为$ \overline{v}_{1} $，在$ t_{0}-\Delta t $到$ t_{0} $之间的平均速度为$ \overline{v}_{2} $，则$ \overline{v}_{1},\overline{v}_{2} $的大小关系是(B)

A.$ \overline{v}_{1}＜\overline{v}_{2} $
B.$ \overline{v}_{1}＞\overline{v}_{2} $
C.$ \overline{v}_{1}=\overline{v}_{2} $
D.无法确定

答案： 12.B 由题可知，$\overline{v}_{1} = \frac{s(t_{0} + \Delta t) - s(t_{0})}{\Delta t} = 2t_{0} + \Delta t$，$\overline{v}_{2} = \frac{s(t_{0}) - s(t_{0} - \Delta t)}{\Delta t} = 2t_{0} - \Delta t$，又$\Delta t ＞ 0$，$\therefore \overline{v}_{1} ＞ \overline{v}_{2}$.

13. 过点$ P(1,-3) $且与曲线$ y = x^{2} $相切的直线的方程为$2x + y + 1 = 0$或$6x - y - 9 = 0$。

答案： 13.$2x + y + 1 = 0$或$6x - y - 9 = 0$
解析 设切点坐标为$(x_{0},y_{0})$，则有$y_{0} = x_{0}^{2}$.
因为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x_{0} + \Delta x)^{2} - x_{0}^{2}}{\Delta x} = 2x_{0}$，所以切线方程为$y - y_{0} = 2x_{0}(x - x_{0})$，将点$(1, - 3)$的坐标代入，
得$- 3 - x_{0}^{2} = 2x_{0} - 2x_{0}^{2}$，所以$x_{0}^{2} - 2x_{0} - 3 = 0$，解得$x_{0} = - 1$或$x_{0} = 3$.
当$x_{0} = - 1$时，$y_{0} = 1$，故切线方程为$2x + y + 1 = 0$；
当$x_{0} = 3$时，$y_{0} = 9$，故切线方程为$6x - y - 9 = 0$.
所以所求直线的方程为$2x + y + 1 = 0$或$6x - y - 9 = 0$.

14. 某一运动物体，在$ x(s) $时离开出发点的距离（单位：$ m $）是$ f(x)=\frac{2}{3}x^{3}+x^{2}+2x $。
(1) 求在第$ 1 \ s $内的平均速度；
(2) 求在第$ 1 \ s $末的瞬时速度；
(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到$ 14 \ m/s $？

答案： 14.解
(1)物体在第$1s$内的平均速度为$\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{11}{3}m/s$.
(2)$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \frac{\frac{2}{3}(1 + \Delta x)^{3} + (1 + \Delta x)^{2} + 2(1 + \Delta x) - \frac{11}{3}}{\Delta x} = 6 + 3\Delta x + \frac{2}{3}(\Delta x)^{2}$，
当$\Delta x \to 0$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x} \to 6$，
所以物体在第$1s$末的瞬时速度为$6m/s$.
(3)$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\frac{2}{3}(x + \Delta x)^{3} + (x + \Delta x)^{2} + 2(x + \Delta x) - (\frac{2}{3}x^{3} + x^{2} + 2x)}{\Delta x} = 2x^{2} + 2x + 2 + \frac{2}{3}(\Delta x)^{2} + 2x · \Delta x + \Delta x$，
当$\Delta x \to 0$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x} \to 2x^{2} + 2x + 2$，
令$2x^{2} + 2x + 2 = 14$，解得$x = 2$（负值舍去），
即经过$2s$该物体的运动速度达到$14m/s$.

15. 已知函数$ f(x)=-x^{2}+x $图象上两点$ A(2,f(2)) $，$ B(2+\Delta x,f(2+\Delta x))(\Delta x ＞ 0) $。
(1) 若割线$ AB $的斜率不大于$ -1 $，求$ \Delta x $的取值范围；
(2) 求函数$ f(x)=-x^{2}+x $的图象在点$ A(2,f(2)) $处切线的方程。

答案： 15.解
(1)由题意得，割线AB的斜率为$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{- (2 + \Delta x)^{2} + (2 + \Delta x) - ( - 4 + 2)}{\Delta x} = \frac{- 4\Delta x + \Delta x - (\Delta x)^{2}}{\Delta x} = - 3 - \Delta x$，
由题意知$- 3 - \Delta x \leq - 1$，得$\Delta x \geq - 2$，
又因为$\Delta x ＞ 0$，所以$\Delta x$的取值范围是$(0, + \infty)$.
(2)由
(1)知函数$f(x) = - x^{2} + x$的图象在点$A(2,f(2))$处切线的斜率为
$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (- 3 - \Delta x) = - 3$，
又$f(2) = - 2^{2} + 2 = - 2$，
所以切线的方程为$y - ( - 2) = - 3(x - 2)$，即$3x + y - 4 = 0$.