《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

14. (8分)如图 14 - 11,过点 $ N $ 作射线 $ NM // OA $,并在射线 $ NM $ 上求作一点 $ P $,使点 $ P $ 到射线 $ OA $ 和 $ OB $ 的距离相等。(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明过程)

答案：
解:如图,射线NM、点P即为所求作。

15. (10分)(2023陕西中考)如图 14 - 12,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 50^{\circ},\angle C = 20^{\circ} $,过点 $ A $ 作 $ AE \perp BC $,垂足为 $ E $,延长 $ EA $ 至点 $ D $,使 $ AD = AC $,在边 $ AC $ 上截取 $ AF = AB $,连接 $ DF $。求证:$ DF = CB $。

答案： 证明:在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°,
∴ ∠CAB=180°-∠B-∠C=110°。
∵ AE⊥BC,
∴ ∠AEC=90°。
∴ ∠DAF=∠AEC+∠C=110°,
∴ ∠DAF=∠CAB。在△DAF和△CAB中,AD=AC,∠DAF=∠CAB,AF=AB,
∴ △DAF≌△CAB(SAS),
∴ DF=CB。

16. (10分)如图 14 - 13②是小朋友荡秋千的侧面示意图,静止时秋千位于铅垂线 $ BD $ 上,转轴 $ B $到地面的距离 $ BD = 2.5 $ m。乐乐在荡秋千过程中,当秋千摆动到最高点 $ A $ 时,测得点 $ A $ 到$ BD $ 的距离 $ AC = 1.5 $ m,点 $ A $ 到地面的距离 $ AE = 1.5 $ m。当他从 $ A $ 处摆动到 $ A' $ 处时,若 $ A'B \perp AB $,求点 $ A' $ 到 $ BD $ 的距离。

答案：
解:如图,作A'F⊥BD,垂足为F。
∵ AC⊥BD,
∴ ∠ACB=∠A'FB=90°。在Rt△A'FB中,∠1+∠3=90°。又
∵ A'B⊥AB,
∴ ∠1+∠2=90°,
∴ ∠2 =∠3。在△ACB和△BFA'中,∠ACB=∠A'FB,∠2=∠3,AB=A'B,
∴ △ACB≌△BFA'(AAS),
∴ A'F=BC。
∵ AC//DE且CD⊥AC,AE⊥DE,
∴ CD=AE=1.5m,
∴ BC=BD−CD=2.5−1.5=1m,
∴ A'F=1m,即点A'到BD的距离是1m。