《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

17. (12 分) 如图 15-15, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 是 $ BC $ 边的中点, 连接 $ AD $, $ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $, 过点 $ E $ 作 $ EF // BC $ 交 $ AB $ 于点 $ F $。
(1) 若 $ \angle C = 36^{\circ} $, 求 $ \angle BAD $ 的度数;
(2) 求证: $ FB = FE $。

答案：
(1)解:
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,
∵∠C=36°,
∴∠ABC=36°。
∵BD=CD,AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°−36°=54°。
(2)证明:
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC。
∵EF//BC,
∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,
∴FB=FE。

18. (14 分) 问题提出:
某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型: 直线 $ l $ 同旁有两个定点 $ A $, $ B $, 在直线 $ l $ 上存在点 $ P $, 使得 $ PA + PB $ 的值最小。
解法: 如图 15-16①, 作点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $, 连接 $ A'B $, 则 $ A'B $ 与直线 $ l $ 的交点即为 $ P $, 且 $ PA + PB $ 的最小值为 $ A'B $。

(1) 如图②, 在等边 $ \triangle ABC $ 中, $ E $ 是 $ AB $ 上的点, $ AD $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线, $ P $ 是 $ AD $ 上的点, 若 $ AD = 6 $, 则 $ PE + PB $ 的最小值为 ______。
问题解决:
(2) 如图③, 草地边缘 $ OM $ 与小河河岸 $ ON $ 在点 $ O $ 处形成 $ 30^{\circ} $ 的夹角, 牧马人从 $ A $ 地出发, 先让马到草地边缘吃草, 然后再去河边饮水, 最后回到 $ A $ 地。已知 $ OA = 5 km $, 请在图中设计一条路线, 使所走的路程最短, 并求出整个过程所行的路程。
6
如图,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC分别交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,EA 之和即为所求的最短路程。由题意,得OB=OA=OC=5km,∠BOD =∠AOD,∠COE=∠AOE。
∵∠MON=∠AOD+∠AOE=30°,
∴∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°,
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB=5km,AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5km,
∴整个过程所行的路程为5km。

答案：
(1)6
(2)如图,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC分别交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,EA 之和即为所求的最短路程。由题意,得OB=OA=OC=5km,∠BOD =∠AOD,∠COE=∠AOE。
∵∠MON=∠AOD+∠AOE=30°,
∴∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°,
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB=5km,AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5km,
∴整个过程所行的路程为5km。