《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

14. (8 分) 写出下列命题的逆命题, 并判断逆命题是否成立。若成立, 请说明理由; 若不成立, 请举出反例。
(1) 若一个数是 6 的倍数, 则这个数是 3 的倍数;
(2) 若一个三角形是等边三角形, 则它的三个内角都是 $ 60^{\circ} $;
(3) 若两个三角形全等, 则它们的对应角相等;
(4) 若一个图形是轴对称图形, 则它至少有一条对称轴。

答案：
(1)逆命题:若一个数是3的倍数,则这个数是6的倍数。不成立，反例:9是3 的倍数，但不是6的倍数。
(2)逆命题:若一个三角形的三个内角都是60°,则这个三角形是等边三角形。成立，根据三角形内角和定理，三个角都是60°的三角形三边必然相等。
(3)逆命题:若两个三角形的对应角相等，则它们全等。不成立，反例:两个大小不同的等边三角形，对应角都相等，但不全等。
(4)逆命题:若一个图形至少有一条对称轴，则它是轴对称图形。成立，轴对称图形的定义就是存在一条直线使图形沿直线折叠后两部分能够完全重合。

15. (8 分) 如图 15-13, 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle CAB $ 的平分线 $ AD $ 交 $ BC $ 于点 $ D $, 若 $ DE $ 垂直平分 $ AB $, 求 $ \angle B $ 的度数。

答案： 解:
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB 的平分线AD交BC于点D,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$(90°−∠B)。
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,
∴∠DAE=∠B,即$\frac{1}{2}$(90°−∠B)=∠B,
∴∠B=30°。

16. (10 分) 如图 15-14, 在单位长度为 1 的方格纸中有 $ \triangle ABC $。
(1) 画出 $ \triangle ABC $ 关于 $ x $ 轴对称的 $ \triangle A_1B_1C_1 $, 并写出 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 的各顶点坐标: $ A_1 $ (4,1), $ B_1 $ (2,4), $ C_1 $ (0,2);
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的面积。

(2)△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×(2+3)×4−$\frac{1}{2}$×2×2−$\frac{1}{2}$×2×3=10−2−3=5。

答案：
(1)图略,A₁(4,1),B₁(2,4),C₁(0,2)
(2)△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×(2+3)×4−$\frac{1}{2}$×2×2−$\frac{1}{2}$×2×3=10−2−3=5。