《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

23. (12 分)定义：有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫作等腰直角四边形。
(1) 如图①,已知等腰直角四边形 $ABCD$,$AB = BC$,$\angle ABC = 90^{\circ}$。
① 若 $AB = CD = 1$,$AB// CD$,求对角线 $BD$ 的长。
② 若 $AC\perp BD$,求证：$AD = CD$。
(2) 如图②,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 5$,$BC = 9$,点 $P$ 是对角线 $BD$ 上一点,且 $BP = 2PD$,过点 $P$ 作直线分别交边 $AD$,$BC$ 于点 $E$,$F$,使四边形 $ABFE$ 是等腰直角四边形。求 $AE$ 的长。

答案：
(1)① $ \sqrt{2} $；
(1)② 见解析；
(2) $ 5 $ 或 $ \frac{13}{2} $。