《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

22. (12分) 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$E$ 是 $AD$ 的中点,点 $F$,$G$ 在 $AB$ 上,$EF\perp AB$,$OG// EF$,连接 $OE$.
(1) 求证：四边形 $OEFG$ 是矩形；
(2) 若 $AD = 10$,$EF = 4$,求 $OE$ 和 $BG$ 的长.

答案：
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$O$为$BD$中点。
∵$E$是$AD$中点，
∴$OE$是$\triangle ABD$的中位线，
∴$OE// AB$，$OE=\frac{1}{2}AB$。
∵$F$，$G$在$AB$上，
∴$OE// FG$。
∵$OG// EF$，
∴四边形$OEFG$是平行四边形。
∵$EF\perp AB$，
∴$\angle EFG=90°$，
∴四边形$OEFG$是矩形。
(2) 解：
∵$AD=10$，四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD=10$。
∵$E$是$AD$中点，$O$是$BD$中点，
∴$OE$是$\triangle ABD$中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
∵$EF\perp AB$，$E$是$AD$中点，$AD=10$，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=5$。
在$Rt\triangle AEF$中，$AE=5$，$EF=4$，
∴$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵四边形$OEFG$是矩形，
∴$FG=OE=5$。
∵$AF=3$，
∴$AG=AF+FG=3+5=8$。
∵$AB=10$，
∴$BG=AB-AG=10-8=2$。
综上，$OE=5$，$BG=2$。