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7. (2023·东营中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的边长为 2√6,点 B 在 x 轴的正半轴上,且∠AOC = 60°. 将菱形 OABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 60°,得到四边形 OA'B'C'(点 A'与点 C 重合),则点 B'的坐标是(
A.(3√6, 3√2)
B.(3√2, 3√6)
C.(3√2, 6√2)
D.(6√2, 3√6)
B
)A.(3√6, 3√2)
B.(3√2, 3√6)
C.(3√2, 6√2)
D.(6√2, 3√6)
答案：
1. 首先，连接$AC$，$OB$，$OB'$，$CB'$：
因为四边形$OABC$是菱形，所以$OA = AB = BC = OC$，$OB\perp AC$，$\angle AOB=\angle COB$。
已知$\angle AOC = 60^{\circ}$，$OA = OC = 2\sqrt{6}$，所以$\triangle AOC$是等边三角形。
由菱形性质，$OB = 2OA\sin60^{\circ}$（在$Rt\triangle AOB$中，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OA$为斜边，$AB = OA = 2\sqrt{6}$）。
根据三角函数$\sin\alpha=\frac{对边}{斜边}$，在$Rt\triangle AOB$中，$AB = OA = 2\sqrt{6}$，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OB = 2× OA×\cos30^{\circ}$（$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$），$OB = 2×2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{2}$。
2. 然后，根据旋转性质：
因为菱形$OABC$绕原点$O$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$，得到四边形$OA'B'C'$（点$A'$与点$C$重合），所以$OC = CB'= OB'$，$\angle COB' = 60^{\circ}$。
所以$\triangle COB'$是等边三角形，$CB'// x$轴。
过点$B'$作$B'H\perp x$轴于$H$，在$Rt\triangle OB'H$中，$\angle B'OH = 60^{\circ}$，$OB'=OB = 6\sqrt{2}$。
根据三角函数$\sin60^{\circ}=\frac{B'H}{OB'}$，$\cos60^{\circ}=\frac{OH}{OB'}$。
则$OH = OB'\cos60^{\circ}=6\sqrt{2}×\frac{1}{2}=3\sqrt{2}$，$B'H = OB'\sin60^{\circ}=6\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}$。
所以点$B'$的坐标是$(3\sqrt{2},3\sqrt{6})$，答案是B。
因为四边形$OABC$是菱形，所以$OA = AB = BC = OC$，$OB\perp AC$，$\angle AOB=\angle COB$。
已知$\angle AOC = 60^{\circ}$，$OA = OC = 2\sqrt{6}$，所以$\triangle AOC$是等边三角形。
由菱形性质，$OB = 2OA\sin60^{\circ}$（在$Rt\triangle AOB$中，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OA$为斜边，$AB = OA = 2\sqrt{6}$）。
根据三角函数$\sin\alpha=\frac{对边}{斜边}$，在$Rt\triangle AOB$中，$AB = OA = 2\sqrt{6}$，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OB = 2× OA×\cos30^{\circ}$（$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$），$OB = 2×2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{2}$。
2. 然后，根据旋转性质：
因为菱形$OABC$绕原点$O$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$，得到四边形$OA'B'C'$（点$A'$与点$C$重合），所以$OC = CB'= OB'$，$\angle COB' = 60^{\circ}$。
所以$\triangle COB'$是等边三角形，$CB'// x$轴。
过点$B'$作$B'H\perp x$轴于$H$，在$Rt\triangle OB'H$中，$\angle B'OH = 60^{\circ}$，$OB'=OB = 6\sqrt{2}$。
根据三角函数$\sin60^{\circ}=\frac{B'H}{OB'}$，$\cos60^{\circ}=\frac{OH}{OB'}$。
则$OH = OB'\cos60^{\circ}=6\sqrt{2}×\frac{1}{2}=3\sqrt{2}$，$B'H = OB'\sin60^{\circ}=6\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}$。
所以点$B'$的坐标是$(3\sqrt{2},3\sqrt{6})$，答案是B。
8. 如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点,把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置. 若四边形 AECF 的面积为 25,DE = 2,则 AE 的长为(
A.5
B.√23
C.7
D.√29
D
)A.5
B.√23
C.7
D.√29
答案：
D
9. 如图,已知点 E 在正方形 ABCD 内,满足∠AEB = 90°,AE = 6,BE = 8,则阴影部分的面积是(
A.48
B.60
C.76
D.80
C
)A.48
B.60
C.76
D.80
答案：
C
10. (2023·湖南常德中考)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 分别为 AO,DO 上的一点,且 EF//AD,连接 AF,DE. 若∠FAC = 15°,则∠AED 的度数为(
A.80°
B.90°
C.105°
D.115°
C
)A.80°
B.90°
C.105°
D.115°
答案：
C
11. (2024·黑龙江中考)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,请添加一个条件
$AC = BD$（或 $\angle BAD = 90°$ 等）
,使得菱形 ABCD 为正方形.
答案：
$AC = BD$（或 $\angle BAD = 90°$ 等）
12. 如图,菱形 ABCD 的边长是 2 cm,E 是 AB 的中点,且 DE⊥AB,则菱形 ABCD 的面积为
2√3
cm².
答案：
2√3
13. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上一点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥BC 于点 F,则 PE + PF =
2
.
答案：
2
14. (2023·四川内江中考)如图,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,△BPC 是等边三角形,则阴影部分的面积为
$8-4\sqrt{3}$
.
答案：
$8-4\sqrt{3}$
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