《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

15. 如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使 CE = BD,连接 AE. 若∠ADB = 40°,则∠E 的度数为20°.

答案： 20°

16. (2023·四川内江中考)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建. “将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,且等于所分割成的小图形的面积之和”是出入相补原理的重要内容之一. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5,AD = 12,对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E 为 BC 边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点 F,G,则 EF + EG = 60/13.

答案： 60/13

17. (8 分)如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,已知 O 是 AC 的中点,AE = CF,DF//BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若 OD = $\frac{1}{2}$AC,则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论.

答案：
(1)证明：
∵DF//BE，
∴∠BEO=∠DFO。
∵O是AC中点，
∴AO=CO。
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO。
在△BOE和△DOF中，
∠BOE=∠DOF（对顶角相等），
EO=FO，
∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF（ASA）。
(2)四边形ABCD是矩形。
证明：由
(1)△BOE≌△DOF得BO=DO。
∵O是AC中点，
∴AO=CO。
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵OD=1/2AC，BD=2OD，
∴BD=AC。
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。