《2025年精练课堂分层作业九年级数学上册北师大版》

22. (12 分)(2023·四川遂宁中考)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD// BC$,点 $O$ 为对角线 $BD$ 的中点,过点 $O$ 的直线 $l$ 分别与 $AD$,$BC$ 所在的直线相交于点 $E$,$F$。(点 $E$ 不与点 $D$ 重合)
(1) 求证：$\triangle DOE\cong\triangle BOF$；
(2) 当直线 $l\perp BD$ 时,连接 $BE$,$DF$,试判断四边形 $EBFD$ 的形状,并说明理由。

答案： 1. （1）证明：
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle EDO=\angle FBO$。
又因为点$O$为对角线$BD$的中点，所以$OD = OB$。
在$\triangle DOE$和$\triangle BOF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle EDO=\angle FBO\\OD = OB\\\angle DOE=\angle BOF\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle DOE\cong\triangle BOF$。
2. （2）解：
四边形$EBFD$是菱形。
理由如下：
由（1）知$\triangle DOE\cong\triangle BOF$，所以$OE = OF$。
又因为$OB = OD$，根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），所以四边形$EBFD$是平行四边形。
因为直线$l\perp BD$，即$EF\perp BD$。
根据菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），所以平行四边形$EBFD$是菱形。
综上，（1）证明见上述过程；（2）四边形$EBFD$是菱形。