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22. (10 分)(2023·四川内江中考)如图,在正方形$ABCD$中,$P是对角线AC$上的一个动点(不与$A$,$C$重合),连接$BP$,将$BP绕点B顺时针旋转90^{\circ}到BQ$,连接$QP交BC于点E$,$QP延长线与边AD交于点F$。
(1)连接$CQ$,求证：$AP = CQ$；
(2)若$AP = \frac{1}{4}AC$,求$CE:BC$的值；
(3)求证：$PF = EQ$。
(1)连接$CQ$,求证：$AP = CQ$；
(2)若$AP = \frac{1}{4}AC$,求$CE:BC$的值；
(3)求证：$PF = EQ$。
答案：
1. （1）证明$AP = CQ$：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle ABC=90^{\circ}$。
又因为$BP$绕点$B$顺时针旋转$90^{\circ}$到$BQ$，所以$BP = BQ$，$\angle PBQ = 90^{\circ}$。
那么$\angle ABC-\angle PBC=\angle PBQ - \angle PBC$，即$\angle ABP=\angle CBQ$。
在$\triangle ABP$和$\triangle CBQ$中：
$\begin{cases}AB = CB\\\angle ABP=\angle CBQ\\BP = BQ\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$。
所以$AP = CQ$。
2. （2）求$CE:BC$的值：
设正方形$ABCD$的边长为$a$，则$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$（根据勾股定理$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$，这里$a = b$）。
因为$AP=\frac{1}{4}AC$，所以$AP = CQ=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$PC=AC - AP=\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}}{4}a=\frac{3\sqrt{2}}{4}a$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AD// BC$，所以$\angle PAF=\angle PCE$，$\angle AFP=\angle CEP$。
则$\triangle AFP\sim\triangle CEP$（两角分别相等的两个三角形相似）。
又因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle BAP=\angle BCQ$（$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$），$\angle BAC = 45^{\circ}$，所以$\angle QCP = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$。
设$CE=x$，$BC = a$，$AD// BC$，$\triangle AFP\sim\triangle CEP$，则$\frac{AP}{CQ}=\frac{AF}{CE}$，且$\angle QCP = 90^{\circ}$，$\angle BQC=\angle BPA$，$\angle BPA+\angle BPC = 180^{\circ}$，$\angle BQC+\angle BPC = 180^{\circ}$，$\angle QPC+\angle QBC = 180^{\circ}$（四边形内角和为$360^{\circ}$），$\angle QBC = 90^{\circ}$，所以$\angle QPC = 90^{\circ}$。
因为$\triangle AFP\sim\triangle CEP$，所以$\frac{AP}{PC}=\frac{AF}{CE}$。
由于$AF = a - CE$（$AD = BC=a$，$AD// BC$），$AP=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$PC=\frac{3\sqrt{2}}{4}a$，则$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{3}$。
即$\frac{AF}{CE}=\frac{1}{3}$，$AF=\frac{1}{3}CE$，又$AF=a - CE$，所以$\frac{1}{3}CE=a - CE$。
移项可得$\frac{1}{3}CE+CE=a$，$\frac{4}{3}CE=a$，$CE=\frac{3}{4}a$。
所以$\frac{CE}{BC}=\frac{3}{4}$。
3. （3）证明$PF = EQ$：
过点$P$作$PM\perp AD$于$M$，$PN\perp BC$于$N$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AC$是对角线，所以$PM = PN$，$\angle MPN = 90^{\circ}$。
又因为$\angle PBQ = 90^{\circ}$，所以$\angle MPF+\angle FPN=\angle QPE+\angle FPN = 90^{\circ}$，则$\angle MPF=\angle QPE$。
因为$AD// BC$，所以$\angle PFM=\angle PEC$。
在$\triangle PMF$和$\triangle PNE$中：
$\begin{cases}\angle PMF=\angle PNE = 90^{\circ}\\PM = PN\\\angle MPF=\angle QPE\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle PMF\cong\triangle PNE$。
所以$PF = EQ$。
综上，（1）通过证明$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$得$AP = CQ$；（2）$CE:BC = 3:4$；（3）通过作辅助线，证明$\triangle PMF\cong\triangle PNE$得$PF = EQ$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle ABC=90^{\circ}$。
又因为$BP$绕点$B$顺时针旋转$90^{\circ}$到$BQ$，所以$BP = BQ$，$\angle PBQ = 90^{\circ}$。
那么$\angle ABC-\angle PBC=\angle PBQ - \angle PBC$，即$\angle ABP=\angle CBQ$。
在$\triangle ABP$和$\triangle CBQ$中：
$\begin{cases}AB = CB\\\angle ABP=\angle CBQ\\BP = BQ\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$。
所以$AP = CQ$。
2. （2）求$CE:BC$的值：
设正方形$ABCD$的边长为$a$，则$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$（根据勾股定理$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$，这里$a = b$）。
因为$AP=\frac{1}{4}AC$，所以$AP = CQ=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$PC=AC - AP=\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}}{4}a=\frac{3\sqrt{2}}{4}a$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AD// BC$，所以$\angle PAF=\angle PCE$，$\angle AFP=\angle CEP$。
则$\triangle AFP\sim\triangle CEP$（两角分别相等的两个三角形相似）。
又因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle BAP=\angle BCQ$（$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$），$\angle BAC = 45^{\circ}$，所以$\angle QCP = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$。
设$CE=x$，$BC = a$，$AD// BC$，$\triangle AFP\sim\triangle CEP$，则$\frac{AP}{CQ}=\frac{AF}{CE}$，且$\angle QCP = 90^{\circ}$，$\angle BQC=\angle BPA$，$\angle BPA+\angle BPC = 180^{\circ}$，$\angle BQC+\angle BPC = 180^{\circ}$，$\angle QPC+\angle QBC = 180^{\circ}$（四边形内角和为$360^{\circ}$），$\angle QBC = 90^{\circ}$，所以$\angle QPC = 90^{\circ}$。
因为$\triangle AFP\sim\triangle CEP$，所以$\frac{AP}{PC}=\frac{AF}{CE}$。
由于$AF = a - CE$（$AD = BC=a$，$AD// BC$），$AP=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$PC=\frac{3\sqrt{2}}{4}a$，则$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{3}$。
即$\frac{AF}{CE}=\frac{1}{3}$，$AF=\frac{1}{3}CE$，又$AF=a - CE$，所以$\frac{1}{3}CE=a - CE$。
移项可得$\frac{1}{3}CE+CE=a$，$\frac{4}{3}CE=a$，$CE=\frac{3}{4}a$。
所以$\frac{CE}{BC}=\frac{3}{4}$。
3. （3）证明$PF = EQ$：
过点$P$作$PM\perp AD$于$M$，$PN\perp BC$于$N$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AC$是对角线，所以$PM = PN$，$\angle MPN = 90^{\circ}$。
又因为$\angle PBQ = 90^{\circ}$，所以$\angle MPF+\angle FPN=\angle QPE+\angle FPN = 90^{\circ}$，则$\angle MPF=\angle QPE$。
因为$AD// BC$，所以$\angle PFM=\angle PEC$。
在$\triangle PMF$和$\triangle PNE$中：
$\begin{cases}\angle PMF=\angle PNE = 90^{\circ}\\PM = PN\\\angle MPF=\angle QPE\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle PMF\cong\triangle PNE$。
所以$PF = EQ$。
综上，（1）通过证明$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$得$AP = CQ$；（2）$CE:BC = 3:4$；（3）通过作辅助线，证明$\triangle PMF\cong\triangle PNE$得$PF = EQ$。
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