《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

4. 设$\sin\alpha=\frac{3}{5}$,且是第一象限的角,则$\tan\alpha$的值为B
A.$-\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 【解析】：
本题主要考察同角三角函数的基本关系。
已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第一象限的角，根据同角三角函数的基本关系，我们有$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$，
所以，可以得到$\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^{2} = \frac{16}{25}$，
由于$\alpha$是第一象限的角，所以$\cos\alpha$应为正，因此$\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$，
再根据正切函数的定义$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，代入已知的$\sin\alpha$和求得的$\cos\alpha$的值，得到$\tan\alpha = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$。
【答案】：
B

5. 已知$\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})= \frac{1}{3}$,$0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$,则$\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})$等于(D)
A.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

答案： 【解析】：
本题主要考察同角三角函数的基本关系。
已知 $\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})= \frac{1}{3}$，且 $0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，
则 $\frac{\pi}{4} ＜ \alpha + \frac{\pi}{4} ＜ \frac{3\pi}{4}$。
由于 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，我们可以求出 $\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})$ 的值。
计算过程如下：
$\sin(\alpha+\frac{\pi}{4}) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha+\frac{\pi}{4})}$
$= \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}$
$= \sqrt{1 - \frac{1}{9}}$
$= \sqrt{\frac{8}{9}}$
$= \frac{2\sqrt{2}}{3}$
【答案】：
D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

6. 若$\alpha$是第四象限的角,$\tan\alpha=-\frac{5}{12}$,则$\sin\alpha$等于(D)
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\frac{3}{15}$
D.$-\frac{5}{13}$

答案： 【解析】：
本题主要考察同角三角函数的基本关系。
根据三角函数的定义，我们有：
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$。
由题意知，$\tan\alpha = -\frac{5}{12}$，所以：
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{5}{12}$。
从上式我们可以得到：
$\sin\alpha = -\frac{5}{12}\cos\alpha$
(1)
再根据三角函数的基本恒等式：
$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
(2)
将
(1)式代入
(2)式，得到：
$(-\frac{5}{12}\cos\alpha)^{2} + \cos^{2}\alpha = 1$。
即$\frac{25}{144}\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$。
合并同类项得：
$\frac{169}{144}\cos^{2}\alpha = 1$。
从中我们可以解出：
$\cos^{2}\alpha = \frac{144}{169}$。
由于$\alpha$是第四象限的角，在第四象限中，$\cos\alpha$为正，所以：
$\cos\alpha = \frac{12}{13}$ (取正值因为$\alpha$在第四象限)。
再将$\cos\alpha = \frac{12}{13}$代入
(1)式，得到：
$\sin\alpha = -\frac{5}{12} × \frac{12}{13} = -\frac{5}{13}$。
【答案】：D. $-\frac{5}{13}$。

7. 已知$\tan\theta = 2$,则$\frac{3\sin\theta+\cos\theta}{2\sin\theta-\cos\theta}$等于(A)
A.$\frac{7}{3}$
B.$-\frac{7}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.2

答案： 【解析】：
本题主要考察同角三角函数的基本关系。
已知$\tan\theta = 2$，根据正切函数的定义，有$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，所以$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2$。
接下来，我们需要求$\frac{3\sin\theta+\cos\theta}{2\sin\theta-\cos\theta}$的值。
为了求这个表达式的值，我们可以将分子和分母同时除以$\cos\theta$，得到：
$\frac{3\sin\theta+\cos\theta}{2\sin\theta-\cos\theta} = \frac{3\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1}{2\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-1}$
将已知的$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2$代入上式，得到：
$\frac{3×2+1}{2×2-1} = \frac{7}{3}$
所以，$\frac{3\sin\theta+\cos\theta}{2\sin\theta-\cos\theta} = \frac{7}{3}$。
【答案】：
A. $\frac{7}{3}$。

8. 已知$\cos\alpha=\frac{5}{13}$,且$\alpha$为第四象限角,则$\tan\alpha$的值(D)
A.$\frac{5}{12}$
B.$-\frac{5}{12}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$-\frac{12}{5}$

答案： 解：因为$\cos\alpha = \frac{5}{13}$，且$\alpha$为第四象限角，根据同角三角函数基本关系$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1$，可得：
$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}$
则$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5}$
答案：D

9. 计算$\sin^{2}63^{\circ}+\cos^{2}63^{\circ}$的值为(B)
A.$-1$
B.1
C.$63^{\circ}$
D.2

答案： 【解析】：
本题考查的是同角三角函数的基本关系。
根据三角函数的基本恒等式，对于任意角度$\theta$，都有$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$。
将$\theta=63^{\circ}$代入上述恒等式中，得到$\sin^{2}63^{\circ}+\cos^{2}63^{\circ}=1$。
【答案】：
B

10. 已知$\sin\alpha=-2\cos\alpha$,$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$,则$\cos\alpha$的值为(B)
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 【解析】：
本题主要考察同角三角函数的基本关系。
根据三角函数的基本恒等式，我们有：
$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$，
由题意，已知：
$\sin\alpha = - 2\cos\alpha$，
代入上述恒等式中，得到：
$(- 2\cos\alpha)^{2} + \cos^{2}\alpha = 1$
$4\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
$5\cos^{2}\alpha = 1$
$\cos^{2}\alpha = \frac{1}{5}$
由于$\alpha \in (\frac{\pi}{2},\pi)$，在这个区间内，$\cos\alpha$是负的。
因此，
$\cos\alpha = - \frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】：B. $-\frac{\sqrt{5}}{5}$。

1. 已知$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha+2\cos\alpha}=5$,则$\tan\alpha=$$-\frac{9}{4}$.

答案： 解：已知$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha} = 5$，等式左边分子分母同时除以$\cos\alpha$（$\cos\alpha \neq 0$），得$\frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha + 2} = 5$。
方程两边同乘$\tan\alpha + 2$，得$\tan\alpha + 1 = 5(\tan\alpha + 2)$。
展开右边：$\tan\alpha + 1 = 5\tan\alpha + 10$。
移项：$\tan\alpha - 5\tan\alpha = 10 - 1$。
合并同类项：$-4\tan\alpha = 9$。
解得：$\tan\alpha = -\frac{9}{4}$。
$-\frac{9}{4}$

2. 已知$\tan\alpha = 2$($\alpha$为第三象限),则$\sin\alpha=$$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角函数的基本关系式。已知$\tan\alpha = 2$，且$\alpha$在第三象限，我们可以利用同角三角函数的基本关系式来求解$\sin\alpha$。
首先，由$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2$，我们可以得到$\sin\alpha = 2\cos\alpha$。
然后，利用同角三角函数的基本关系式$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$，将$\sin\alpha = 2\cos\alpha$代入，得到：
$4\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
$5\cos^{2}\alpha = 1$
$\cos^{2}\alpha = \frac{1}{5}$
由于$\alpha$在第三象限，$\cos\alpha$应为负值，所以：
$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$
最后，将$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$代入$\sin\alpha = 2\cos\alpha$，得到：
$\sin\alpha = 2 × (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【答案】：
$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 已知$\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{2}$,则$\sin\alpha\cdot\cos\alpha=$$-\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察同角三角函数的基本关系。
根据同角三角函数的基本关系，我们有：
$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
同时，题目给出：
$\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2}$
对上式两边平方，得到：
$(\sin\alpha - \cos\alpha)^{2} = 2$
展开后得到：
$\sin^{2}\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha = 2$
由于$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$，代入上式得：
$1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 2$
从上式可以解出：
$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{1}{2}$
【答案】：
$-\frac{1}{2}$