《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

4. 已知两点$M_{1}(-2,1)和M_{2}(2,4)$,则$M_{1}M_{2}$两点间的距离为(C)
A.26
B.$\sqrt {26}$
C.5
D.$3\sqrt {3}$

答案： 解：已知两点$M_1(-2,1)$和$M_2(2,4)$，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$x_1=-2$，$y_1=1$，$x_2=2$，$y_2=4$。
则$x_2 - x_1 = 2 - (-2) = 4$，$y_2 - y_1 = 4 - 1 = 3$。
所以$M_1M_2$两点间的距离为$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
答案：C

5. 已知$A(-2,3)$,$B(3,-2)$,$C(\frac {1}{2},m)$三点共线,则$m$的值为(A)
A.$\frac {1}{2}$
B.$\frac {1}{3}$
C.$-\frac {1}{2}$
D.$-\frac {2}{3}$

答案： 【解析】：
本题主要考察两点间距离公式与中点坐标公式的应用，以及三点共线的性质。由于三点共线，所以斜率应该相等，即$k_{AB} = k_{AC}$。
首先，我们计算直线AB的斜率$k_{AB}$，
$k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 3}{3 - (-2)} = -1$
然后，我们计算直线AC的斜率$k_{AC}$，其中C点的y坐标为m，
$k_{AC} = \frac{m - 3}{\frac{1}{2} - (-2)} = \frac{m - 3}{\frac{5}{2}} = \frac{2(m - 3)}{5}$
由于A，B，C三点共线，所以$k_{AB} = k_{AC}$，
即 $-1 = \frac{2(m - 3)}{5}$，
解这个方程，我们得到 $m = \frac{1}{2}$。
【答案】：A. $\frac {1}{2}$。

6. 已知点$A(m,5)$,$B(0,1)$,$|AB| = 5$,则$m$的值为(A)
A.$\pm 3$
B.$\pm 4$
C.5
D.$-3$

答案： 【解析】：
本题主要考查两点间距离公式的应用。
根据两点间距离公式，对于点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$，两点间的距离为：
$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$，
将点$A(m,5)$和点$B(0,1)$的坐标代入上述公式，得到：
$|AB| = \sqrt{(0 - m)^{2} + (1 - 5)^{2}} = \sqrt{m^{2} + 16}$，
由题意知$|AB| = 5$，所以：
$\sqrt{m^{2} + 16} = 5$，
平方两边得：
$m^{2} + 16 = 25$，
移项并化简得：
$m^{2} = 9$，
解得：
$m = \pm 3$。
【答案】：
A.$\pm 3$。

7. 在$\triangle ABC$中,$A(2,10)$,$B(2,2)$,$C(-1,6)$,则$\triangle ABC$的周长为(C)
A.10
B.8
C.18
D.5

答案： 解：
已知 $ A(2,10) $, $ B(2,2) $, $ C(-1,6) $。
由两点间距离公式 $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $：
1. 计算 $ AB $:
$ AB = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 10)^2} = \sqrt{0 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8 $
2. 计算 $ AC $:
$ AC = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
3. 计算 $ BC $:
$ BC = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
周长 $ = AB + AC + BC = 8 + 5 + 5 = 18 $
答案：C

8. 已知直线$l的倾斜角是直线\sqrt {3}x + y - 1 = 0倾斜角的\frac {1}{2}$,则直线$l$的斜率为(A)
A.$\sqrt {3}$
B.$2\sqrt {3}$
C.$-\frac {\sqrt {3}}{2}$
D.$-\sqrt {3}$

答案： 【解析】：
本题主要考察直线倾斜角与斜率的关系以及二倍角公式的应用。
首先，需要求出直线$\sqrt {3}x + y - 1 = 0$的倾斜角的正切值，即其斜率。
由直线方程可知，斜率$k = -\sqrt{3}$，设该直线的倾斜角为$\alpha$，则有$\ tan\alpha = -\sqrt{3}$，
由于$\alpha \in [0, \pi)$，可以确定$\alpha = \frac{2\pi}{3}$。
题目给出直线$l$的倾斜角是$\alpha$的$\frac{1}{2}$，即$\frac{\pi}{3}$。
设直线$l$的斜率为$k_l$，则有$k_l = \ tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$。
但考虑到直线斜率可能为正或负，需要检查选项中是否有对应的负值。
然而，由于$\frac{\pi}{3}$位于第一象限，其正切值为正，所以直线$l$的斜率也应为正。
检查选项后，可以确定答案为A，即斜率为$\sqrt{3}$。
这里我们其实不需要真的去求倾斜角是$\frac{2\pi}{3}$的二倍角的正切值，因为题目已经直接给出了是$\frac{1}{2}$，所以我们只需要求$\frac{\pi}{3}$的正切值即可。
【答案】：
A

9. 已知直线$l的倾斜角60^{\circ }$,则直线$l$的斜率为(D)
A.$\frac {\sqrt {3}}{3}$
B.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
C.$\frac {1}{2}$
D.$\sqrt {3}$

答案： 【解析】：
本题主要考察直线的倾斜角与斜率的关系。在数学中，直线的斜率 $k$ 与其倾斜角 $\alpha$ 的关系是 $k = \tan(\alpha)$。
题目给出直线 $l$ 的倾斜角为 $60^\circ$，我们需要求直线的斜率。
根据斜率和倾斜角的关系，有 $k = \tan(60^\circ)$。
查找三角函数表或使用三角函数性质，我们知道 $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$。
因此，直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$。
【答案】：
D. $\sqrt{3}$。

10. 已知直线$l垂直于x$轴,则直线的倾斜角为(B)
A.$0^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$180^{\circ }$
D.不存在

答案： 解：直线倾斜角的定义为直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角，范围是$0^{\circ}\leq\alpha＜180^{\circ}$。
当直线垂直于x轴时，其向上方向与x轴正方向垂直，所成角为$90^{\circ}$。
故答案为：B。

1. $A(-1,3)$,$B(2,1)$两点间的距离$\sqrt{13}$。

答案： 解：已知点$A(-1,3)$，$B(2,1)$。
根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$x_1=-1$，$y_1=3$，$x_2=2$，$y_2=1$。
则$x_2 - x_1 = 2 - (-1) = 3$，$y_2 - y_1 = 1 - 3 = -2$。
所以$d = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$。
答案：$\sqrt{13}$

2. $A(8,3)$,$B(-2,5)$两点的中点坐标$(3,4)$。

答案： 【解析】：
本题考查的是中点坐标公式的应用。对于任意两点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，其中点$M$的坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$。
在本题中，已知点$A(8,3)$和点$B(-2,5)$，需要求这两点的中点坐标。
应用中点坐标公式，横坐标的平均值为$\frac{8+(-2)}{2} = 3$，纵坐标的平均值为$\frac{3+5}{2} = 4$。
【答案】：
中点坐标为$(3,4)$。

3. 已知$A(2,3)$,线段$AB的中点M的坐标为(3,5)$,则点$B$的坐标为$(4,7)$。

答案： 【解析】：
本题主要考查中点坐标公式。设点B的坐标为$B(x, y)$。
根据中点坐标公式，若线段AB的两个端点分别为$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$，则线段AB的中点M的坐标为:
$M(\frac{x_1 +x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
对于本题，已知点A的坐标为$A(2,3)$，中点M的坐标为$M(3,5)$。
我们可以将这些坐标值代入中点坐标公式，得到两个方程：
对于x坐标：$\frac{2 + x}{2} = 3$，
对于y坐标：$\frac{3 + y}{2} = 5$，
从第一个方程，我们可以解出x：
$2 + x = 6 \implies x = 4$，
从第二个方程，我们可以解出y：
$3 + y = 10 \implies y = 7$，
因此，点B的坐标为$B(4,7)$。
【答案】：
$(4,7)$