《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

1. 将$2 ^ { 3 } = 8$改写成对数形式为$\log_{2}8 = 3$.

答案： 【解析】：
本题主要考察对数的定义及其与指数的关系。
对数的定义是：如果 $a^x = N$（$a ＞ 0$，且 $a \neq 1$），那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_a N$。
根据这个定义，我们可以将给定的指数形式 $2^3 = 8$ 改写为对数形式。
【答案】：
$\log_{2}8 = 3$

2. 计算$( \lg 2 ) ^ { 2 } + ( \lg 5 ) ^ { 2 } + \lg 2 \cdot \lg 25 = $1.

答案： 【解析】：
本题主要考察对数的运算及性质，特别是对数的乘法和加法运算。
首先，我们将原式中的$\lg 25$进行化简，由于$25 = 5^2$，所以$\lg 25 = \lg 5^2 = 2\lg 5$。
然后，我们将化简后的$\lg 25$代入原式，得到：
$(\lg 2)^{2} + (\lg 5)^{2} + \lg 2 \cdot 2\lg 5$，
接着，我们可以将上式重写为：
$(\lg 2)^{2} + 2\lg 2 \cdot \lg 5 + (\lg 5)^{2}$，
这是一个完全平方的形式，即：
$(\lg 2 + \lg 5)^{2}$，
最后，由于$\lg 2 + \lg 5 = \lg(2 × 5) = \lg 10 = 1$，所以原式的值为：
$1^{2} = 1$。
【答案】：
1

3. 已知$\lg a$,$\lg b是方程3 x ^ { 2 } - 6 x - 5 = 0$的两根,且$0 ＜ a ＜ b$,则$\lg ( a b ) = $2.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次方程根与系数的关系以及对数的性质。
首先，根据二次方程的性质，若$\lg a$和$\lg b$是方程$3x^2 - 6x - 5 = 0$的两根，那么根据二次方程根与系数的关系，有：
根的和：$\lg a + \lg b = -\frac{-6}{3} = 2$，
根的积：$\lg a \cdot \lg b = \frac{-5}{3}$，
但注意到，题目要求的是$\lg(ab)$，根据对数的性质，$\lg(ab) = \lg a + \lg b$。
所以，直接利用根的和的关系，得到：
$\lg(ab) = \lg a + \lg b = 2$，
【答案】：
$\lg(ab) = 2$。

1. 已知$\log _ { a } 2 = m$,$\log _ { a } 3 = n$,求$a ^ { m + n }$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考察对数的定义和性质。
根据对数的定义，如果$\log_{a}b = c$，那么$a^{c} = b$。
由题目给出的条件，有$\log_{a}2 = m$和$\log_{a}3 = n$，根据对数的定义，可以转化为$a^{m} = 2$和$a^{n} = 3$。
要求$a^{m+n}$的值，根据同底数幂的乘法法则，$a^{m+n} = a^{m} × a^{n}$。
将$a^{m} = 2$和$a^{n} = 3$代入，得到$a^{m+n} = 2 × 3 = 6$。
【答案】：
$a^{m+n} = 6$

2. 计算：(1)$\log _ { 3 } 81 - \log _ { 3 } 3$； (2)$\lg 25 + \lg 4$.

答案： 【解析】：
本题考查对数的运算性质，包括对数的减法转化为除法，对数的加法转化为乘法，以及知道对数的底数和真数求对数值。
(1) 对于 $\log_{3}{81} - \log_{3}{3}$，根据对数的性质，当底数相同时，两对数相减等于两数相除的对数，即：
$\log_{3}{81} - \log_{3}{3} = \log_{3}{\frac{81}{3}} = \log_{3}{27}$
由于 $3^3 = 27$，所以 $\log_{3}{27} = 3$。
(2) 对于 $\lg 25 + \lg 4$，根据对数的性质，两对数相加等于两数相乘的对数，即：
$\lg 25 + \lg 4 = \lg (25 × 4) = \lg 100$
由于 $10^2 = 100$，所以 $\lg 100 = 2$。
【答案】：
(1) 3；
(2) 2。

3. 计算$( \lg 5 ) ^ { 2 } + \lg 4 \cdot \lg 5 + ( \lg 2 ) ^ { 2 }$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考察对数的运算性质以及完全平方公式的运用。
首先，我们注意到原式中的$\lg 4$可以写成$2\lg 2$，因为$4 = 2^2$，所以$\lg 4 = \lg (2^2) = 2\lg 2$。
然后，我们将原式重写为$(\lg 5)^2 + 2\lg 2 \cdot \lg 5 + (\lg 2)^2$。
观察这个表达式，我们发现它具有完全平方公式的形式$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，其中$a = \lg 5$，$b = \lg 2$。
因此，原式可以进一步简化为$(\lg 5 + \lg 2)^2$。
最后，我们利用对数的性质$\lg ab = \lg a + \lg b$，将上式化简为$(\lg (5 × 2))^2 = (\lg 10)^2$。
由于$\lg 10 = 1$（因为$10^1 = 10$），所以原式的值为$1^2 = 1$。
【答案】：
原式$= (\lg 5)^2 + 2\lg 2 \cdot \lg 5 + (\lg 2)^2 = (\lg 5 + \lg 2)^2 = (\lg (5 × 2))^2 = (\lg 10)^2 = 1^2 = \boxed{1}$。