《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

7. 已知 $\alpha$ 为锐角,则点 $A\{\cos(\pi - \alpha), \sin(\pi - \alpha)\}$ 所在的象限为 (B)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 【解析】：
本题主要考察三角函数的诱导公式以及三角函数在各象限的符号。
根据三角函数的诱导公式，我们有：
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$，
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$，
由于$\alpha$为锐角，根据三角函数的性质，我们知道在锐角范围内，$\cos\alpha ＞ 0$ 且 $\sin\alpha ＞ 0$。
因此，应用诱导公式后，我们得到：
$\cos(\pi - \alpha) ＜ 0$，
$\sin(\pi - \alpha) ＞ 0$，
根据平面直角坐标系的象限定义，当一个点的横坐标小于0且纵坐标大于0时，该点位于第二象限。
【答案】：
B. 第二象限。

8. 已知 $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$,则 $\cos(\alpha + 180^{\circ})$ 的值为 (D)
A.$\frac{5}{13}$
B.$-\frac{5}{13}$
C.$-\frac{12}{13}$
D.$\frac{12}{13}$

答案： 解：根据三角函数诱导公式，$\cos(\alpha + 180^{\circ}) = -\cos\alpha$。
已知 $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$，则 $\cos(\alpha + 180^{\circ}) = -(-\frac{12}{13}) = \frac{12}{13}$。
答案：D

9. 已知 $\cos(\pi + \theta) = -\frac{12}{13}$,且 $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$,则 $\tan \theta$ 的值为 (A)
A.$-\frac{5}{12}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$-\frac{12}{5}$

答案： 【解析】：
本题主要考察三角函数的诱导公式以及同角三角函数关系的应用。
首先，根据题目给出的条件，有 $\cos(\pi + \theta) = -\frac{12}{13}$。
利用诱导公式，可以得到 $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$，
所以，$-\cos\theta = -\frac{12}{13}$，
即$\cos\theta = \frac{12}{13}$。
接下来，需要找到 $\sin\theta$ 的值。
由于 $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$，在这个区间内，$\sin\theta$ 是负的。
因此，可以利用同角三角函数的基本关系式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，
来求解 $\sin\theta$，即$\sin\theta = -\sqrt{1 - \cos^2\theta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = -\frac{5}{13}$，
最后，利用 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，
可以得到 $\tan\theta = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}$。
【答案】：
A. $-\frac{5}{12}$。

10. 计算 $\sin^{2} 323^{\circ} + \sin^{2} 127^{\circ}$ 的值为 (D)
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.-1
D.1

答案： 【解析】：
本题考查三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系。
根据诱导公式，我们有：
$\sin(360^{\circ} - \alpha) = -\sin(\alpha)$
所以，
$\sin 323^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 37^{\circ}) = -\sin 37^{\circ}$
又因为，
$\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin(\alpha)$
所以，
$\sin 127^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 53^{\circ}) = \sin 53^{\circ}$
由于 $\sin 53^{\circ} = \cos 37^{\circ}$ （因为 $\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos(\alpha)$ ），
所以原式可以转化为：
$\sin^{2} 323^{\circ} + \sin^{2} 127^{\circ} = (-\sin 37^{\circ})^{2} + \cos^{2} 37^{\circ}$
$= \sin^{2} 37^{\circ} + \cos^{2} 37^{\circ}$
根据同角三角函数的基本关系，我们知道：
$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$
所以，
$\sin^{2} 37^{\circ} + \cos^{2} 37^{\circ} = 1$
故答案为：D. $1$ 。
【答案】：
D

1. 计算：$\tan\left(-\frac{17\pi}{4}\right) = $$-1$.

答案： 解：$\tan\left(-\frac{17\pi}{4}\right)$
$=-\tan\frac{17\pi}{4}$（正切函数是奇函数，$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$）
$=-\tan\left(4\pi + \frac{\pi}{4}\right)$（因为$\frac{17\pi}{4}=4\pi + \frac{\pi}{4}$）
$=-\tan\frac{\pi}{4}$（正切函数周期为$\pi$，$\tan(2k\pi + \alpha)=\tan\alpha$，$k\in\mathbf{Z}$）
$=-1$（因为$\tan\frac{\pi}{4}=1$）
$-1$

2. 计算：$\cos(-240^{\circ}) = $$-\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查三角函数的诱导公式及其特殊值的运用。
首先，我们可以将角度$-240^{\circ}$转化为一个在$0^{\circ}$到$360^{\circ}$之间的角度，利用诱导公式，可以得到$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$，所以$\cos(-240^{\circ}) = \cos(240^{\circ})$。
接着利用诱导公式，将$240^{\circ}$转化为一个锐角，
即$\cos(240^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ})$，
因为$\cos(60^{\circ})$的值为$\frac{1}{2}$，
所以$-\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$。
【答案】：
$-\frac{1}{2}$

3. 已知 $\cos(3\pi - \theta) = \frac{8}{17}$,$\tan \theta ＜ 0$,则 $\cos(9\pi + \theta) = $$\frac{8}{17}$.

答案： 1. 首先，利用诱导公式化简$\cos(3\pi - \theta)$：
根据诱导公式$\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$，$\cos(3\pi-\theta)=\cos3\pi\cos\theta+\sin3\pi\sin\theta$。
因为$\cos3\pi = - 1$，$\sin3\pi = 0$，所以$\cos(3\pi - \theta)=-\cos\theta$。
已知$\cos(3\pi - \theta)=\frac{8}{17}$，则$-\cos\theta=\frac{8}{17}$，即$\cos\theta=-\frac{8}{17}$。
2. 然后，根据$\tan\theta\lt0$判断$\theta$所在象限：
因为$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\lt0$，$\cos\theta = -\frac{8}{17}\lt0$，所以$\sin\theta\gt0$。
根据$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$，可得$\sin\theta=\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}$。
把$\cos\theta=-\frac{8}{17}$代入$\sin\theta=\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}$，则$\sin\theta=\sqrt{1-(-\frac{8}{17})^{2}}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\sqrt{\frac{289 - 64}{289}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}$。
3. 最后，利用诱导公式化简$\cos(9\pi+\theta)$：
根据诱导公式$\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$，$\cos(9\pi+\theta)=\cos9\pi\cos\theta-\sin9\pi\sin\theta$。
因为$\cos9\pi=\cos(8\pi+\pi)=\cos\pi=-1$，$\sin9\pi=\sin(8\pi+\pi)=\sin\pi = 0$。
所以$\cos(9\pi+\theta)=-\cos\theta$。
又因为$\cos\theta=-\frac{8}{17}$，所以$\cos(9\pi+\theta)=\frac{8}{17}$。
故答案为$\frac{8}{17}$。

1. 化简：$\sqrt{1 - \cos(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)}$ $\left(\pi ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{2}\right)$.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角函数的诱导公式以及三角函数的性质。
首先，利用诱导公式将原式中的$\cos(\pi - \alpha)$和$\cos(\pi + \alpha)$进行化简。
根据诱导公式，有：
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$，
$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$。
将上述结果代入原式，得到：
$\sqrt{1 - (-\cos\alpha)(-\cos\alpha)} = \sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}$。
接下来，利用同角三角函数的基本关系式$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$，将上式进一步化简为：
$\sqrt{\sin^{2}\alpha}$。
由于$\pi ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{2}$，在这个区间内，$\sin\alpha$是负的。
因此，原式可以化简为：
$-\sin\alpha$（注意负号的保留）。
【答案】：
$-\sin\alpha$。