《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

3. 已知圆心坐标为 $ (-1,1) $ 且经过 $ (2,0) $ 的圆的方程是$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆的标准方程这一知识点。
根据圆的标准方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中 $(a, b)$ 是圆心坐标，$r$ 是半径。
题目已给出圆心坐标为 $(-1, 1)$，所以 $a = -1$，$b = 1$。
接下来，需要求出半径 $r$。
根据两点间的距离公式，有
$r = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$
将圆心坐标 $(-1, 1)$ 和圆上一点坐标 $(2, 0)$ 代入公式，得到
$r = \sqrt{(2 - (-1))^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}$
所以，所求圆的方程为 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$。
【答案】：
$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$

1. 求以直线 $ x - y + 2 = 0 $ 与直线 $ x + y + 4 = 0 $ 的交点为圆心,半径为 5 的圆的方程.

答案： 【解析】：
本题要求找到两条直线的交点，并以该交点为圆心，5为半径，写出圆的方程。为了找到交点，我们需要解这两个直线的方程组。接着利用交点坐标和给定的半径，根据圆的标准方程 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 来写出圆的方程，其中 (h, k) 是圆心坐标，r 是半径。
【答案】：
解：
首先，我们解直线方程组来找到圆心坐标：
$\begin{cases}x - y + 2 = 0, \\x + y + 4 = 0.\end{cases}$
将第一个方程的 $y$ 用 $x + 2$ 替换，得到
$x + (x + 2) + 4 = 0 \Rightarrow 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3.$将 $x = -3$ 代入 $x - y + 2 = 0$ 得到
$-3 - y + 2 = 0 \Rightarrow y = -1.$所以交点坐标为 $(-3, -1)$。
现在我们有圆心坐标 $(-3, -1)$ 和半径 5，可以写出圆的方程：
$(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 25.$

2. 求经过直线 $ x - y + 7 = 0 $ 与 $ 3x - y + 1 = 0 $ 的交点,圆心为点 $ O(1,1) $ 的圆的方程.

答案： 【解析】：
本题要求经过两条直线的交点且圆心为给定点的圆的方程。
首先，需要找到两条直线的交点，这可以通过解两个直线方程组成的方程组来实现。
然后，利用圆心到交点的距离来确定圆的半径。
最后，根据圆的标准方程 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆心坐标，$r$ 是半径，来写出圆的方程。
【答案】：
解：
首先，解直线方程组
$\begin{cases}x - y + 7 = 0 \\3x - y + 1 = 0\end{cases}$
从第一个方程中解出 $y$ 得 $y = x + 7$，代入第二个方程得 $3x - (x + 7) + 1 = 0$，
解得 $x = 3$，再代入第一个方程得 $y = 10$。
所以交点坐标为 $(3, 10)$。
然后，计算圆心 $O(1, 1)$ 到交点 $(3, 10)$ 的距离，即圆的半径 $r$。
$r = \sqrt{(3 - 1)^2 + (10 - 1)^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$
最后，根据圆的标准方程，写出圆的方程：
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 85$

3. 已知方程 $ x^{2}+y^{2}-4x+6y - k^{2}+14k = 0 $ 表示一个圆,求实数 $ k $ 的取值范围.

答案： 【解析】：
本题主要考察圆的方程的理解以及二次方程判别式的应用。
一个标准的圆方程可以表示为 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。
题目给出的方程 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - k^2 + 14k = 0$ 需要转化为标准形式。
通过配方，我们可以将方程转化为 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = k^2 - 14k + 13$。
由于这是一个圆，所以半径的平方 $k^2 - 14k + 13$ 必须大于0。
解这个不等式 $k^2 - 14k + 13 ＞ 0$。
因子分解得 $(k-1)(k-13) ＞ 0$。
解这个不等式，我们找到 $k$ 的取值范围。
【答案】：
解：首先，我们将给定的方程 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - k^2 + 14k = 0$ 配方成标准形式。
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = k^2 - 14k + 13$
由于这是一个圆的方程，所以 $k^2 - 14k + 13 ＞ 0$。
因子分解得 $(k-1)(k-13) ＞ 0$。
解这个不等式，我们得到 $k ＜ 1$ 或 $k ＞ 13$。
故 $k$ 的取值范围是 $k ＜ 1$ 或 $k ＞ 13$。