《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

7. 正四棱锥底面边长为 a,侧棱长也是 a,那么过两相对侧棱的截面的面积是(C)
A.$\frac {3}{2}a^{2}$
B.$a^{2}$
C.$\frac {1}{2}a^{2}$
D.$\frac {1}{3}a^{2}$

答案： 解：正四棱锥底面为正方形，边长为 $a$，则底面正方形对角线长为 $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$。
过两相对侧棱的截面为等腰三角形，两腰为侧棱长 $a$，底为底面正方形对角线 $\sqrt{2}a$。
设截面三角形的高为 $h$，根据勾股定理：$h = \sqrt{a^2 - (\frac{\sqrt{2}a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{\sqrt{2}a}{2}$。
截面面积 $S = \frac{1}{2} × \sqrt{2}a × \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{1}{2} × a^2 = \frac{1}{2}a^2$。
答案：C

8. 正四棱锥的侧棱长为 1,底面边长为 1,则它的斜高为(C)
A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $1:\dfrac{1}{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考察正四棱锥的斜高的计算。
首先，由于是正四棱锥，底面是正方形，边长为1，侧棱长也为1。
考虑正四棱锥的一个侧面，它是一个等腰三角形，腰长为1（即侧棱长），底边长为正方形的边长，即1。
我们可以将这个等腰三角形划分为两个直角三角形，其中一个直角三角形的直角边分别为斜高（我们要求的）和底边的一半（即$\frac{1}{2}$），斜边为侧棱长（即1）。
设斜高为$h$，根据勾股定理，有：
$h^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1^2$
$h^2 + \frac{1}{4} = 1$
$h^2 = \frac{3}{4}$
$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】：
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

9. 正四面体的侧棱为 4,其体积为(B)
A. $ 4\sqrt{2} $
B. $ \dfrac{16\sqrt{2}}{3} $
C. $ 8\sqrt{2} $
D. $ \dfrac{32}{3} $

答案： 【解析】：
本题主要考察正四面体的体积计算。
正四面体是一种特殊的四面体，它的四个面都是等边三角形，且每个面的边长都相等。
首先，我们需要求出正四面体的高。
设正四面体为$ABCD$，其中$AB=4$，底面$BCD$的中心为$O$。
由于$O$是等边三角形$BCD$的中心，所以$BO= \frac{2}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} × 4 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，（等边三角形中线性质，中线长为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，其中$a$为边长，且中心将中线分为2:1）
接下来，利用勾股定理计算正四面体的高$AO$。
$AO = \sqrt{AB^{2} - BO^{2}} = \sqrt{4^{2} - (\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}} = \sqrt{16 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{48-16}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$，
然后，计算底面$BCD$的面积。
$S_{\bigtriangleup BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 4^{2} = 4\sqrt{3}$，（等边三角形面积公式，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，其中$a$为边长）
最后，利用四面体的体积公式计算体积。
$V = \frac{1}{3} × S_{\bigtriangleup BCD} × AO = \frac{1}{3} × 4\sqrt{3} × \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3} × \frac{4}{3}× \frac{3}{4}= \frac{16\sqrt{2}}{3} × 1 = \frac{16\sqrt{2}}{3} × \frac{2}{2} = \frac{32\sqrt{2}}{6}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$。（四面体体积公式，$V=\frac{1}{3} × S × h$，其中$S$为底面积，$h$为高）
【答案】：
B. $\frac{16\sqrt{2}}{3}$。

10. 三棱柱的底面是斜边等于2的等腰直角三角形,高为3,则三棱柱的体积是(C)
A.6
B.$3\sqrt {2}$
C.3
D.2

答案： 解：因为三棱柱的底面是斜边等于2的等腰直角三角形，设直角边长为a，根据勾股定理可得$a^2 + a^2 = 2^2$，即$2a^2 = 4$，解得$a^2 = 2$，所以底面面积$S = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}×2 = 1$。
又因为三棱柱的高$h = 3$，根据三棱柱体积公式$V = Sh$，可得体积$V = 1×3 = 3$。
答案：C

1. 已知正四棱柱的底面边长为 1,侧棱长为$\sqrt {2}$,则侧面对角线与底面所成角的正切值为$\sqrt{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察正四棱柱的性质以及三角函数的应用。
首先，正四棱柱的底面是一个正方形，侧棱垂直于底面。
题目给出了正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为$\sqrt{2}$。
考虑正四棱柱的一个侧面，这个侧面是一个矩形，其中一条边是底面的边，长度为1，另一条边是侧棱，长度为$\sqrt{2}$。
侧面对角线在这个矩形上，与底面形成直角三角形。
要求侧面对角线与底面所成角的正切值，可以利用正切函数的定义，即正切值等于对边长度除以邻边长度。
在这个直角三角形中，对边是侧棱，长度为$\sqrt{2}$，邻边是底面的边，长度为1。
所以，$\tan(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$。
【答案】：
$\sqrt{2}$

2. 若正三棱锥的底面边长为 4,顶点到底面的距离为 5,则此棱锥的体积为$\frac{20\sqrt{3}}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查正三棱锥的体积计算。
正三棱锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} × S × h$，其中$S$为底面积，$h$为高。
首先，我们需要求出正三棱锥底面的面积，底面是一个等边三角形，其面积公式为$S = \frac{\sqrt{3}}{4} × a^{2}$，其中$a$为等边三角形的边长。
然后，将题目中给出的底面边长$a=4$和顶点到底面的距离$h=5$代入公式，即可求出体积。
底面面积$S = \frac{\sqrt{3}}{4} × 4^{2} = 4\sqrt{3}$。
所以，正三棱锥的体积$V = \frac{1}{3} × 4\sqrt{3} × 5 = \frac{20\sqrt{3}}{3}$。
【答案】：
$\frac{20\sqrt{3}}{3}$。

3. 四棱锥 P一ABCD 的底面是矩形,AP 垂直于底面,且$AP= 1,AB= 4,$$BC= 3$,则点 P 到 BD 的距离为$\frac{13}{5}$.

答案： 解：连接BD，过A作AE⊥BD于E，连接PE。
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，
BD=$\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
由面积法得$AB \cdot AD = BD \cdot AE$，即$4×3 = 5×AE$，解得$AE = \frac{12}{5}$。
因为AP⊥底面ABCD，AE⊂底面ABCD，所以AP⊥AE。
在Rt△PAE中，AP=1，AE=$\frac{12}{5}$，
PE=$\sqrt{AP^2 + AE^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{1 + \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}$。
故点P到BD的距离为$\frac{13}{5}$。

1. 已知正六棱柱底面边长为 6,侧棱长为 10,求它的侧面积、全面积和体积.

答案： 【解析】：
本题主要考察正六棱柱的侧面积、全面积和体积的计算。
侧面积的计算：正六棱柱有6个侧面，每个侧面都是一个矩形，长为侧棱长，宽为底边边长。
全面积的计算：全面积 = 侧面积 + 2 × 底面积。底面积为正六边形，可以划分为6个等边三角形，每个三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，其中a为等边三角形的边长。
体积的计算：体积 = 底面积 × 高。
【答案】：
解：
侧面积：
正六棱柱有6个侧面，每个侧面的面积为$10 × 6 = 60$，
所以侧面积为$6 × 60 = 360$。
全面积：
底面积为6个等边三角形的面积之和，即$6 × \frac{\sqrt{3}}{4} × 6^{2} = 54\sqrt{3} × 2=108\sqrt{3}$（因为正六棱柱有两个底面）。
所以全面积为$360 + 108\sqrt{3}$。
体积：
底面积为$6 × \frac{\sqrt{3}}{4} × 6^{2} = 54\sqrt{3}$，
所以体积为$54\sqrt{3} × 10 = 540\sqrt{3}$。