《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

8. 已知角$\alpha$终边上的一点$A(3,\sqrt{3}),$则角$\alpha$的大小为(C)
A.$\dfrac{\pi}{3}$
B.$\dfrac{\pi}{6}$
C.$k \cdot 2\pi + \dfrac{\pi}{6} (k \in \mathbf{Z})$
D.$k \cdot 2\pi + \dfrac{\pi}{3} (k \in \mathbf{Z})$

答案： 1. 首先，根据正切函数的定义：
对于角$\alpha$终边上一点$P(x,y)$（$x\neq0$），$\tan\alpha=\frac{y}{x}$。
已知角$\alpha$终边上一点$A(3,\sqrt{3})$，则$x = 3$，$y=\sqrt{3}$。
所以$\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
2. 然后，根据正切函数的性质：
因为$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且角$\alpha$的终边与$\frac{\pi}{6}$的终边相同（终边相同的角的关系为$\alpha=\beta + 2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，其中$\beta$是与$\alpha$终边相同的一个角）。
所以$\alpha = 2k\pi+\frac{\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$。
综上，答案是C。

9. 已知角$\alpha的终边上有一点P(12,-5)$,则$\sin \alpha = ($C)
A.$\dfrac{12}{13}$
B.$-\dfrac{12}{13}$
C.$-\dfrac{5}{13}$
D.$\dfrac{5}{13}$

答案： 【解析】：
本题主要考察任意角的三角函数的定义。根据三角函数的定义，对于一个角$\alpha$，如果其终边上有一个点$P(x, y)$，且该点到原点的距离为$r$，则$\sin \alpha = \frac{y}{r}$。
在本题中，点$P$的坐标为$(12, -5)$，因此$x = 12$，$y = -5$。
首先，我们需要计算点$P$到原点的距离$r$，根据勾股定理，$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$。
然后，根据$\sin \alpha$的定义，我们有$\sin \alpha = \frac{y}{r} = \frac{-5}{13}$。
【答案】：
C. $-\frac{5}{13}$。

10. 已知角$\beta的终边过点P(3,x)$,且$\cos \beta = \dfrac{1}{3}$,$x的值为(\quad)$

A.$6\sqrt{2}$
B.$-6\sqrt{2}$
C.$\pm 6\sqrt{2}$
D.$0$

答案： 【解析】：
本题主要考查三角函数的定义。
根据三角函数的定义，对于终边过点$P(3,x)$的角$\beta$，其余弦值为：
$\cos \beta = \frac{邻边}{斜边} = \frac{3}{\sqrt{3^2 + x^2}}$，
题目给出$\cos \beta = \frac{1}{3}$，因此可以建立方程：
$\frac{3}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{1}{3}$，
接下来解这个方程：
首先，将方程两边同时乘以3和$\sqrt{9 + x^2}$，得到：
$9 = \sqrt{9 + x^2}$，
然后，对方程两边同时平方，得到：
$81 = 9 + x^2$，
接着，将方程两边同时减去9，得到：
$x^2 = 72$，
最后，对方程两边同时开方，得到：
$x = \pm 6\sqrt{2}$，
由于在本题的上下文中，$x$表示的是点$P$的纵坐标，它可以是正数也可以是负数，因此$x$的值为$\pm 6\sqrt{2}$。
【答案】：
C.$\pm 6\sqrt{2}$。

1. 已知角$\alpha终边上一点的坐标P(-1,-2)$,则$\cos \alpha =$$-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查任意角的三角函数定义。
根据任意角的三角函数定义，对于终边经过点$P(x, y)$的角$\alpha$，其余弦值$\cos \alpha$可以通过以下公式计算：
$\cos \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，
在本题中，点$P$的坐标为$(-1, -2)$，因此$x = -1$，$y = -2$。
将这些值代入上述公式，我们得到：
$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$，
【答案】：
$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

2. 设角$\alpha$为第一象限的角,点$(3,m)在角\alpha$的终边上,且$\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$,则$m= $4.

答案： 【解析】：
本题主要考查任意角的三角函数定义。
由于角$\alpha$的终边上有点$(3,m)$，根据三角函数的定义，有
$\sin\alpha = \frac{对边}{斜边} = \frac{m}{\sqrt{3^2 + m^2}}$，
题目给出$\sin\alpha = \frac{4}{5}$，因此可以建立方程：
$\frac{m}{\sqrt{9 + m^2}} = \frac{4}{5}$，
解这个方程，我们有：
$5m = 4\sqrt{9 + m^2}$，
$25m^2 = 16(9 + m^2)$，
$25m^2 = 144 + 16m^2$，
$9m^2 = 144$，
$m^2 = 16$，
$m = \pm 4$，
但是，由于点$(3,m)$在第一象限，$m$必须是正数。
因此，$m = 4$。
【答案】：
$4$

3. 若角$\alpha$在第三象限,则点$P(\cos \alpha, \sin \alpha)$在第三象限.

答案： 解：因为角α在第三象限，所以cosα＜0，sinα＜0。因此点P(cosα, sinα)的横坐标为负，纵坐标为负，故点P在第三象限。
第三象限

1. 计算：$\sin \pi - 2 \cos 2\pi - 3 \sin \dfrac{3\pi}{2} + 4 \cos \pi + 5 \tan 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考察三角函数诱导公式的运用。
根据三角函数的诱导公式，我们有：
$\sin \pi = 0$
$\cos 2\pi = 1$
$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$
$\cos \pi = -1$
$\tan 0 = 0$
将这些值代入原式，我们得到：
$\sin \pi - 2 \cos 2\pi - 3 \sin \frac{3\pi}{2} + 4 \cos \pi + 5 \tan 0 = 0 - 2 × 1 - 3 × (-1) + 4 × (-1) + 5 × 0 = 0 - 2 + 3 - 4 = -3$
【答案】：
$-3$