《2025年暑假作业北京出版社中职高一数学全一册通用版》

3. 已知 $ x^{2}+y^{2}-2x+6y+a = 0 $ 的半径为 2,则 $ a $ 为(D)
A.8
B.2
C.4
D.6

答案： 【解析】：
本题主要考察圆的标准方程和一般方程之间的关系，以及如何通过比较系数来求解未知数。
首先，将给定的方程$x^{2} + y^{2} - 2x + 6y + a = 0$转化为圆的标准方程形式。
圆的标准方程为$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
为了将原方程转化为标准形式，我们需要完成平方项：
$(x^{2} - 2x) + (y^{2} + 6y) + a = 0$，
$(x^{2} - 2x + 1) + (y^{2} + 6y + 9) + a - 1 - 9 = 0$，
$(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 10 - a$，
由于题目给出圆的半径为2，因此有：
$10 - a = 2^{2}$，
$10 - a = 4$，
解得$a = 6$。
【答案】：
D

4. 若圆 $ (x - 1)^{2}+y^{2}= a $,经过点 $ (-1,\sqrt{3}) $,则圆的半径为(D)
A.7
B.5
C.4
D.$ \sqrt{7} $

答案： 【解析】：
本题主要考察圆的方程以及点与圆的位置关系。
首先，根据题目给出的圆的方程 $(x - 1)^{2} + y^{2} = a$ 和点 $(-1, \sqrt{3})$，我们需要利用点与圆的位置关系来求解 $a$。
点与圆的位置关系：如果一个点 $(x_0, y_0)$ 在圆上，那么它必须满足圆的方程，即 $(x_0 - h)^{2} + (y_0 - k)^{2} = r^{2}$，其中 $(h, k)$ 是圆心，$r$ 是半径。
将点 $(-1, \sqrt{3})$ 代入圆的方程 $(x - 1)^{2} + y^{2} = a$，得到：
$(-1 - 1)^{2} + (\sqrt{3} - 0)^{2} = a$，
$4 + 3 = a$，
$a = 7$，
由于 $a$ 是半径的平方，所以半径 $r = \sqrt{a} = \sqrt{7}$。
【答案】：
D. $\sqrt{7}$。

5. 圆心为 $ (-1,2) $,半径为 $ 2\sqrt{5} $ 的圆的方程为(D)
A.$ (x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}= 20 $
B.$ (x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}= 20 $
C.$ (x + 1)^{2}+(y + 2)^{2}= 20 $
D.$ (x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}= 20 $

答案： 【解析】：
本题主要考察圆的标准方程的知识点。
根据圆的标准方程公式：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，
其中$(a, b)$为圆心坐标，$r$为半径。
将题目中给定的圆心坐标$(-1, 2)$和半径$2\sqrt{5}$代入公式，得到：
$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (2\sqrt{5})^{2}=20$。
对比选项，可以看出只有选项D符合这个形式。
【答案】：
D. $(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}= 20 $。

6. 已知 $ x^{2}+y^{2}-2x+4y - m = 0 $ 表示圆的方程(B)
A.$ m＞5 $
B.$ m＞-5 $
C.$ m\geqslant5 $
D.$ m\geqslant-5 $

答案： 【解析】：
本题主要考察圆的方程及其性质。
一个标准的圆方程可以表示为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。
需要将给定的方程 $x^{2}+y^{2}-2x+4y-m=0$ 转化为标准形式。
通过完成平方，可以将它转换为 $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=5+m$。
由于这是一个圆的方程，半径的平方（即 $5+m$）必须大于0，否则它不能表示一个实际的圆。
因此，设置不等式 $5+m＞0$，解这个不等式，得到 $m＞-5$。
【答案】：
B. $m＞-5$。

7. 已知点 $ A(2,-3) $, $ B(-2,5) $,以 $ AB $ 为直径的圆的标准方程(C)
A.$ x^{2}+(y - 1)^{2}= 80 $
B.$ x^{2}+(y + 1)^{2}= 5 $
C.$ x^{2}+(y - 1)^{2}= 20 $
D.$ x^{2}+(y + 1)^{2}= 20 $

答案： 【解析】：
本题主要考察的是圆的标准方程的知识点。
首先，我们需要找到线段AB的中点，即圆心。线段AB的两个端点分别是$A(2,-3)$和$B(-2,5)$。根据中点公式，中点$M(x,y)$的坐标为$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y=\frac{y_1+y_2}{2}$。将A，B两点的坐标代入公式，得到圆心坐标为$(0,1)$。
然后，我们需要计算半径。半径等于圆心到任一端点的距离，可以选择点A或点B来计算。这里我们选择点A，根据距离公式，$r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。将圆心和点A的坐标代入公式，得到$r=\sqrt{(2-0)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
最后，我们将圆心和半径代入圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，得到$x^2+(y-1)^2=20$。
【答案】：
C.$x^{2}+(y - 1)^{2}= 20$。

8. 已知点 $ (1,m) $ 在圆 $ (x - 1)^{2}+y^{2}= 4 $ 上,则 $ m $ 的值为(D)
A.2
B.-2
C.4
D.$ \pm2 $

答案： 【解析】：
本题主要考察点与圆的位置关系。具体地，如果一个点$(x_0, y_0)$在圆$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$上，那么该点的坐标应满足圆的方程。
在本题中，已知点$(1, m)$在圆$(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$上，因此可以将点的坐标代入圆的方程来求解$m$。
代入$x = 1$，得到：
$(1 - 1)^{2} + m^{2} = 4$，
化简得：
$m^{2} = 4$，
进一步解得：
$m = \pm 2$。
【答案】：
D. $\pm 2$。

9. 点 $ (2,5) $ 与圆 $ x^{2}+(y + 3)^{2}= 4 $ 的位置关系是(A)
A.点在圆外
B.点在圆上
C.点在圆内
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题主要考查点与圆的位置关系。
对于给定的圆，其方程为$x^{2}+(y + 3)^{2}= 4$，
可以看出圆心为$O(0,-3)$，半径$r$为$2$（因为$4$是半径的平方）。
需要判断点$(2,5)$与圆心$O(0,-3)$的距离与半径$r$的关系。
使用两点间的距离公式：
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$，
将点$(2,5)$和圆心$O(0,-3)$的坐标代入公式，得到：
$d = \sqrt{(2 - 0)^{2} + (5 + 3)^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$，
由于$2\sqrt{17} \gt 2 × \sqrt{4} = 2 × 2 = 4 \gt 2$，即$d \gt r$，
所以点$(2,5)$在圆外。
【答案】：
A

10. 圆 $ x^{2}+y^{2}+8x - 6y = 0 $ 的面积为(A)
A.$ 25\pi $
B.$ 9\pi $
C.$ 4\pi $
D.$ 16\pi $

答案： 【解析】：
本题考查圆的方程转换为标准形式后，通过标准形式中的半径信息来计算圆的面积。
给定的圆方程为 $x^{2} + y^{2} + 8x - 6y = 0$。
为了将其转换为标准形式，需要完成平方项：
$x^{2} + 8x + y^{2} - 6y = 0$，
可以写为：
$(x^{2} + 8x + 16) + (y^{2} - 6y + 9) = 25$，
这进一步可以写为：
$(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$，
从上述的标准形式中，可以直接读出半径 $r$ 为5（因为标准形式为 $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$，其中 $r$ 是半径）。
圆的面积公式为 $\pi r^{2}$，代入 $r = 5$，得到面积为 $25\pi$。
【答案】：
A. $25\pi$。

1. 已知圆的方程 $ x^{2}+y^{2}-4x+6y - 6 = 0 $,则圆心坐标为$(2, -3)$,半径为$\sqrt{19}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察圆的标准方程与一般方程之间的转化。
给定的圆方程为 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 6 = 0$。
为了找到圆心和半径，我们需要将这个方程转换为标准形式 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中 $(h, k)$ 是圆心坐标，$r$ 是半径。
首先，将 $x^{2} - 4x$ 完全平方，得到 $(x - 2)^{2} - 4$；
同样，将 $y^{2} + 6y$ 完全平方，得到 $(y + 3)^{2} - 9$。
因此，原方程可以写为：
$(x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 6 = 0$
整理得：
$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 19$
由此可得，圆心坐标为 $(2, -3)$，半径为 $\sqrt{19}$。但注意到我们需要的是半径的数值，
所以半径为$\sqrt{19} \approx4.36$(保留两位小数)，一般题目会要求保留整数或者题目会给出半径的具体数值形式，
本题根据常规要求保留整数，即半径为$\sqrt{19} \approx 4$(取整)。
但更常见的处理方式是直接保留根号形式，即半径为$\sqrt{19}$，
这里我们按照直接保留根号形式给出答案。
【答案】：
圆心坐标为 $(2, -3)$，半径为 $\sqrt{19}$。

2. 已知半径为 2,圆心为 $ (-2,-3) $,圆的标准方程是$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

答案： 解：圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。已知圆心为$(-2,-3)$，半径$r = 2$，代入可得$(x - (-2))^2 + (y - (-3))^2 = 2^2$，即$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$。
$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$