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1. 一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两个根是 $x_{1}$、$x_{2}$,那么 $x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}\cdot x_{2}= $______。(注意：一元二次方程与系数的关系是建立在方程有两个实数根,即 $b^{2}-4ac$______的基础之上的)
答案：
$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ $\geqslant 0$
2. 根的意义：如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两个根是 $x_{1}$、$x_{2}$,那么 $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c= $______,______= 0。
答案：
0 $ax_{2}^{2}+bx_{2}+c$
3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx+n = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}= -2$,$x_{2}= 4$,则 $m - n$ 的值是( )。
A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$6$
A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$6$
答案：
D
4. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读材料：如果 $x_{1}$、$x_{2}$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ 的两根,那么有 $x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$。这是一元二次方程根与系数的关系,我们可以利用它来解题。例：$x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x^{2}+6x - 3 = 0$ 的两根,求 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 的值。解法可以这样：
$\because x_{1}+x_{2}= -6$,$x_{1}x_{2}= -3$,
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}= (-6)^{2}-2×(-3)= 42$。
请你根据以上解法解答下题：已知 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x^{2}-4x + 2 = 0$ 的两根,求：
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$ 的值。
$\because x_{1}+x_{2}= -6$,$x_{1}x_{2}= -3$,
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}= (-6)^{2}-2×(-3)= 42$。
请你根据以上解法解答下题：已知 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x^{2}-4x + 2 = 0$ 的两根,求：
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$ 的值。
答案：
由题意,得$x_{1}+x_{2}=4$,$x_{1}x_{2}=2$.
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{4}{2}=2$.
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4^{2}-4× 2=8$.
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{4}{2}=2$.
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4^{2}-4× 2=8$.
5. 提分优练 (2025·宿迁沭阳期末)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x - k^{2}+k + 1 = 0$($k$ 为常数)。
(1)求证：无论 $k$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程有两个实数根 $x_{1}$、$x_{2}$,且 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 3$,求 $k$ 的值。
(1)求证：无论 $k$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程有两个实数根 $x_{1}$、$x_{2}$,且 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 3$,求 $k$ 的值。
答案：
(1)$\because \Delta =(-3)^{2}-4× 1× (-k^{2}+k+1)=9+4k^{2}-4k-4=4k^{2}-4k+5=4(k-\frac{1}{2})^{2}+4＞0$,
$\therefore$无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=3$,$x_{1}x_{2}=-k^{2}+k+1$.
$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=3$,
$\therefore x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=3$,
$\therefore -k^{2}+k+1+3+1=3$,即$k^{2}-k-2=0$,
解得$k=2$或$-1$.
(1)$\because \Delta =(-3)^{2}-4× 1× (-k^{2}+k+1)=9+4k^{2}-4k-4=4k^{2}-4k+5=4(k-\frac{1}{2})^{2}+4＞0$,
$\therefore$无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=3$,$x_{1}x_{2}=-k^{2}+k+1$.
$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=3$,
$\therefore x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=3$,
$\therefore -k^{2}+k+1+3+1=3$,即$k^{2}-k-2=0$,
解得$k=2$或$-1$.
1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)设:根据题意,设出适当的未知数,未知数的三种类型:①直接未知数;②____未知数;③辅助未知数.(2)列:①列出____;②列出相等关系中所需的____;③列出____.(3)解:①解所列的方程;②检验所得的解是否符合问题的____;③若是设的间接未知数,还需回代求解.(4)答:回答问题(包含单位名称).
答案：
间接 相等关系 代数式 方程 实际意义
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