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1. 圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是____；$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是____。
答案：
直角 直径
2. (2024·十堰三模)如图,$AB为\odot O$的直径,点$C$、$D在\odot O$上,若$∠ABC= 12^{\circ}$,则$∠BDC$的度数是( ).
A.$68^{\circ}$
B.$78^{\circ}$
C.$102^{\circ}$
D.$112^{\circ}$
A.$68^{\circ}$
B.$78^{\circ}$
C.$102^{\circ}$
D.$112^{\circ}$
答案：
C
3. 中考新考法 操作探究 如图,$AB为半圆O$的直径,现将一块等腰直角三角板如图放置,锐角顶点$P$在半圆上,斜边过点$B$,一条直角边交该半圆于点$Q$。若$AB= 2$,则线段$BQ$的长为____。
答案：
$\sqrt{2}$ [解析]连接BQ、AQ，
∴∠QAB=∠QPB=45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠ABQ=90°−45°=45°，
∴∠ABQ=∠QAB，
∴AQ=BQ.又AQ²+BQ²=AB²，
∴2BQ²=2²=4，
∴BQ=$\sqrt{2}$.
∴∠QAB=∠QPB=45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠ABQ=90°−45°=45°，
∴∠ABQ=∠QAB，
∴AQ=BQ.又AQ²+BQ²=AB²，
∴2BQ²=2²=4，
∴BQ=$\sqrt{2}$.
4. (2024·无锡江南中学期末)如图,在$\odot O$中,$AD⊥BC$,连接$AB$、$CD$,若$AB= 2$,$CD= 6$,则$\odot O$半径长为____。
答案：
$\sqrt{10}$
5. 提分优练 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以$AB为直径的\odot O分别交AC$、$BC于点E$、$D$两点,连接$ED$、$BE$。
(1)求证：$DE= BD$；
(2)若$BC= 12$,$AB= 10$,求$BE$的长。
(1)求证：$DE= BD$；
(2)若$BC= 12$,$AB= 10$,求$BE$的长。
答案：
(1)如图，连接AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BE⊥AC.
∵AB=AC，
∴CD=BD.
∵∠AEB=90°，
∴∠CEB=180°−90°=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=BD.
(2)如图，连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F.
∵BC=12，
∴BD=DC=6.
∵AB=10，
∴AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF//AD.
∵OA=OB，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=5，OF=$\frac{1}{2}$AD=4.
∵OB=OA，BD=DC，
∴OD//AC，
∴∠OHB=∠AEB=90°，BH=$\frac{1}{2}$BE.
∵S_{△OBD}=$\frac{1}{2}$BD·OF=$\frac{1}{2}$OD·BH，即$\frac{1}{2}$×6×4=$\frac{1}{2}$×5×BH，解得BH=$\frac{24}{5}$，
∴BE=2BH=$\frac{48}{5}$.
(1)如图，连接AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BE⊥AC.
∵AB=AC，
∴CD=BD.
∵∠AEB=90°，
∴∠CEB=180°−90°=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=BD.
(2)如图，连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F.
∵BC=12，
∴BD=DC=6.
∵AB=10，
∴AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF//AD.
∵OA=OB，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=5，OF=$\frac{1}{2}$AD=4.
∵OB=OA，BD=DC，
∴OD//AC，
∴∠OHB=∠AEB=90°，BH=$\frac{1}{2}$BE.
∵S_{△OBD}=$\frac{1}{2}$BD·OF=$\frac{1}{2}$OD·BH，即$\frac{1}{2}$×6×4=$\frac{1}{2}$×5×BH，解得BH=$\frac{24}{5}$，
∴BE=2BH=$\frac{48}{5}$.
1. 圆的内接四边形的定义:一个四边形的4个顶点都在____,这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的____.
答案：
同一个圆上 外接圆
2. 在圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的____.
答案：
对角互补
3. 圆内接四边形的判定方法:4个顶点在____的四边形是圆内接四边形.
答案：
同一个圆上 互补
4. 如图,在圆内接四边形ABCD中,$∠BCD= 105^{\circ }$,连接OB、OC、OD、BD,$∠BOC= 2∠COD$.则$∠CBD$的度数是( ).
A.$25^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$40^{\circ }$
A.$25^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$40^{\circ }$
答案：
A ［解析］
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°．
∵∠BCD = 105°，
∴∠A = 75°．
∴∠BOD = 2∠A = 150°．
∵∠BOC = 2∠COD，
∴∠BOD = 3∠COD = 150°，
∴∠COD = 50°，
∴∠CBD = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°．故选 A．
思路引导 本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，
结合已知条件求得∠BOD 的度数是解题的关键．
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°．
∵∠BCD = 105°，
∴∠A = 75°．
∴∠BOD = 2∠A = 150°．
∵∠BOC = 2∠COD，
∴∠BOD = 3∠COD = 150°，
∴∠COD = 50°，
∴∠CBD = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°．故选 A．
思路引导 本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，
结合已知条件求得∠BOD 的度数是解题的关键．
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