《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

6. 提分优练 如图,一座石桥的主桥拱是圆弧形,某时刻测得水面$AB$宽度为6米,拱高$CD$(弧的中点到水面的距离)为1米.
(1)求主桥拱所在圆的半径;
(2)若水面下降1米,求此时水面的宽度.

答案：

(1)
∵点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,DC⊥AB,
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3米,DC经过圆心.
如图，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O,连接OA、OC,设半径OA=OD=R米，
则OC=OD−DC=(R−1)米.
在Rt△ACO中,
∵OA²=AC²+OC²,
∴R²=3²+(R−1)²,解得R=5.
故主桥拱所在圆的半径长为5米.

(2)如图，设水面下降1米后宽度为EF,OD与EF相交于点G,连接OF.
∵EF//AB,OD⊥AB,
∴OD⊥EF.
∴∠OGF=90°,EG=FG.
在Rt△OGF中,OG=5−1−1=3(米),OF=5米,
∴FG=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4(米).
∴EF=2FG=8米.
故此时水面的宽度为8米.

1. 三点定圆定理：______的三个点确定一个圆。“确定”的含义是：有且只有______个。

答案： 不在同一条直线上 一

2. 三角形的外接圆与圆的内接三角形：三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的______,这个三角形叫做这个圆的______。一个三角形有且______外接圆,一个圆有______个内接三角形。

答案： 外接圆 内接三角形 只有一个 无数

3. 三角形的外心：(1)定义：三角形______的______叫做这个三角形的外心；
(2)性质：①三角形的外心到三角形三个______的距离相等；②三角形的外心是三角形三边的______的交点。(实际画图时,只要画出两边的垂直平分线交于一点,这点就是三角形的外心)
(3)位置：锐角三角形的外心在三角形的______,钝角三角形的外心在三角形的______,直角三角形的外心在______的______。

答案：
(1)外接圆 圆心
(2)顶点 垂直平分线
(3)内部 外部 斜边 中点

4. 如图,点A、B、C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这四个点中的任意3个,能画出的圆有( )。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

5. 如图,O为锐角三角形ABC的外心,四边形OCDE为正方形,其中点E在△ABC的外部,判断下列叙述不正确的是( )。

A.O是△AEB的外心,不是△AED的外心
B.O是△BEC的外心,不是△BCD的外心
C.O是△AEC的外心,不是△BCD的外心
D.O是△ADB的外心,不是△ADC的外心

答案： D [解析]连接 OB、OD、OA，
∵O 为锐角三角形 ABC 的外心，
∴OA=OC=OB.
∵四边形 OCDE 为正方形，
∴OA=OC＜OD，
∴OA=OE≠OD，即 O 不是△AED 的外心，
OA=OE=OB，即 O 是△AEB 的外心，
OB=OC=OE，即 O 是△BEC 的外心，
OA=OC=OE，即 O 是△AEC 的外心，
OB=OA≠OD，即 O 不是△ADB 的外心，
OA=OC≠OD，即 O 不是△ADC 的外心，
OB=OC≠OD，即 O 不是△BCD 的外心. 故选 D.