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6.提分优练 已知关于x的方程$x^{2}-(k+2)x+2k= 0.$
(1)求证:无论k取何实数值,方程总有两个实数根;
(2)若等腰三角形ABC的底边长为1,另两边的长恰好是这个方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长.
(1)求证:无论k取何实数值,方程总有两个实数根;
(2)若等腰三角形ABC的底边长为1,另两边的长恰好是这个方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长.
答案：
(1)$\Delta =[-(k+2)]^{2}-4×2k=(k-2)^{2}.$
$\because (k-2)^{2}≥0$,即$\Delta ≥0,$
∴无论k取何实数值,方程总有两个实数根.
(2)由题意,得$\Delta =(k-2)^{2}=0$,则$k=2,$
方程化为$x^{2}-4x+4=0$,解得$x_{1}=x_{2}=2,$
故$\triangle ABC$的周长为$2+2+1=5.$
(1)$\Delta =[-(k+2)]^{2}-4×2k=(k-2)^{2}.$
$\because (k-2)^{2}≥0$,即$\Delta ≥0,$
∴无论k取何实数值,方程总有两个实数根.
(2)由题意,得$\Delta =(k-2)^{2}=0$,则$k=2,$
方程化为$x^{2}-4x+4=0$,解得$x_{1}=x_{2}=2,$
故$\triangle ABC$的周长为$2+2+1=5.$
1. 因式分解法的基本原理:几个数相乘,积为0,则这几个数中至少有一个数为____.比如:若$ab= 0$,则____$=0$或____$=0$;若$abc= 0$,则____$=0$或____$=0$或____$=0$.
答案：
0 a b a b c
2. 因式分解法的定义:如果一个一元二次方程的一边是____,另一边能分解为两个一次因式的积,那么解这样的一元二次方程就可以转化为解两个____,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
答案：
0 一元一次方程
3. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程整理成右边是____的形式;
(2)将方程左边分解成两个一次因式的积;
(3)得到两个____;
(4)解这两个一元一次方程,从而求出原一元二次方程的解.
(1)将方程整理成右边是____的形式;
(2)将方程左边分解成两个一次因式的积;
(3)得到两个____;
(4)解这两个一元一次方程,从而求出原一元二次方程的解.
答案：
0 一元一次方程
4. 如果$x_{1}$、$x_{2}是ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的两根,那么二次三项式$ax^{2}+bx+c可因式分解为ax^{2}+bx+c= $____.
答案：
a(x-x₁)(x-x₂)
5. 中考新考法 新定义问题 在正数范围内定义运算“※”,其规则为$a※b= a+b^{2}$,则方程$x※(x+1)= 5$的解是( ).
A.$x= 5$
B.$x= 1$
C.$x_{1}= 1,x_{2}= -4$
D.$x_{1}= -1,x_{2}= 4$
A.$x= 5$
B.$x= 1$
C.$x_{1}= 1,x_{2}= -4$
D.$x_{1}= -1,x_{2}= 4$
答案：
B
6. 方程$(x+1)(x-2)= 0$的解是____.
答案：
x₁=-1,x₂=2
7. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0的两根为x_{1}= 3,x_{2}= -2$,则$x^{2}+bx+c$可分解为____.
答案：
(x-3)(x+2)
8. 提分优练 中考新考法 满足条件的结论开放 若$x= 0$是关于x的方程$(m-2)x^{2}+3x+m^{2}+2m-8= 0$的解,求实数m的值,并讨论此方程解的情况.
答案：
把x=0代入方程(m-2)x²+3x+m²+2m-8=0，得m²+2m-8=0，解得m₁=2,m₂=-4.
当m=2时，方程变为一元一次方程3x=0，解得x=0；
当m=-4时，方程变为-6x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=1/2.
当m=2时，方程变为一元一次方程3x=0，解得x=0；
当m=-4时，方程变为-6x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=1/2.
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