《2025年课时训练九年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

5. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= $$3cm$,$BC= 4cm$,以点$C$为圆心,以$2cm$的长为半径作圆,则$AB与\odot C$的位置关系是____.

答案： 相离

6. 提分优练 (2024·徐州睢宁期中)如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,点$D是AC$的中点,以$AB为直径的\odot O交BC于点E$.请判断直线$DE与\odot O$的位置关系,并说明理由.

答案： 直线DE与⊙O相切.理由如下:如图,连接OE、AE,则OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°,
∴∠AEC=90°.
∵点D是AC的中点,
∴ED=AD=$\frac{1}{2}$AC,
∴∠DEA=∠DAE,
∴∠OED=∠OEA+∠DEA=∠OAE+∠DAE=∠BAC=90°,
∴DE⊥OE.
又OE是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线，即直线DE与⊙O相切.

1. 切线的判定方法：
(1)定义法：与圆有______公共点的直线是圆的切线；
(2)距离法：若一个圆的圆心到一条直线的距离______圆的半径,则这条直线是圆的切线；
(3)切线的判定定理：经过半径的______并且______这条半径的直线是圆的切线.

答案：
(1)唯一　
(2)等于　
(3)外端　垂直于

2. 切线的性质：
(1)圆的切线与圆有______公共点；
(2)圆心到圆的切线的距离______半径；
(3)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过______的半径.

答案：
(1)唯一　
(2)等于　
(3)切点

3. 常用辅助线：交点已知,连半径,证______；交点未知,作垂直,证______.

答案： 垂直　半径

4. (2025·常州溧阳期中)如图,已知PA切⊙O于点A,⊙O的半径为3,OP= 5,则切线PA长为( ).

A.$\sqrt{34}$
B.8
C.4
D.2

答案： C

5. 中考新考法 操作探究 如图,要在一块形状为直角三角形(∠C是直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮,需先在这块铁皮上画出一个半圆,使它的圆心在线段AC上,且与AB、BC都相切,若AC= 4,BC= 3,则半圆的半径是______.

答案：
$\frac{3}{2}$　[解析]如图,作∠ABC的平分线与AC交于点O,过点O作OD⊥AB,此时OD=OC,
则⊙O与AB、BC都相切.
由题意,得AC=4,BC=3,
∴AB=5.
∵OC=OD,OB=OB,
∴Rt△OBC≌Rt△OBD,
∴BC=BD=3,
∴AD=2.
设OD=OC=r,则OA=4−r,
在Rt△OAD中,由勾股定理,得$r^{2}+2^{2}=(4-r)^{2}$,
解得$r=\frac{3}{2}$.

6. 提分优练 如图,已知AB为⊙O的直径,点C为圆上一点,AD垂直于过点C的直线,交⊙O于点E,垂足为D,AC平分∠BAD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC= 8,BC= 6,求DE的长.

答案：

(1)连接OC,如图.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠BAD,
∴∠OAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC//AD.
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)连接BE,交OC于点F,过点C作CH⊥AB于点H,如图.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
∵AD⊥CD,OC⊥CD,
∴四边形EFCD为矩形,
∴EF=CD,ED=CF,OF⊥BE,
∴EF=BF.
连接BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=10$.
∵$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× CH$,
∴CH=4.8.
∵∠DAC=∠CAB,
∴CD=CH,
∴CD=4.8,
∴$AD=\sqrt{8^{2}-4.8^{2}}=6.4$,EF=CD=4.8,
∴BE=2EF=9.6,
∴$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=2.8$,
∴DE=AD−AE=6.4−2.8=3.6.