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4. 圆心角、弧、弦关系定理的推论:在____中,如果两个圆心角、两条____、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别____.
答案：
同圆或等圆 弧 相等
5. 弧度:将顶点在圆心的周角等分成360份,每一份圆心角是$1^{\circ}$的角.因为同圆中相等的圆心角所对弧相等,所以整个圆也被分成360份.我们把$1^{\circ}$的____所对的弧叫做$1^{\circ}$的弧.圆心角的度数与它所对的弧的度数____.
答案：
圆心角 相等
6. (2025·扬州宝应期中)如图,在$\odot O$中,点A、B、C在圆上,且弧AB长等于弧AC长的2倍,则下列结论正确的是( ).
A.$AB= 2AC$
B.$AB＞2AC$
C.$AB＜2AC$
D.以上结论都不对
A.$AB= 2AC$
B.$AB＞2AC$
C.$AB＜2AC$
D.以上结论都不对
答案：
C
7. 中考新考法 操作探究 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则$\overset{\frown}{BC}$的度数是( ).
A.$120^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$165^{\circ}$
A.$120^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$165^{\circ}$
答案：
C [解析]如图,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E.
由题意，得EO=$\frac{1}{2}$BO，AB//DC，可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，
故$\overset{\frown}{BC}$的度数是150°.故选C.
C [解析]如图,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E.
由题意，得EO=$\frac{1}{2}$BO，AB//DC，可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，
故$\overset{\frown}{BC}$的度数是150°.故选C.
8. 提分优练 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CB}$,$CD\perp OA$于点D,$CE\perp OB$于点E.
(1)求证:$CD= CE$;
(2)若$∠AOB= 120^{\circ}$,$OA= 2$,求四边形DOEC的面积.
(1)求证:$CD= CE$;
(2)若$∠AOB= 120^{\circ}$,$OA= 2$,求四边形DOEC的面积.
答案：
(1)连接OC.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC.
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°.
在△CDO和△CEO中，$\begin{cases} ∠CDO=∠CEO, \\ ∠AOC=∠BOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△CDO≌△CEO(AAS).
∴CD=CE.
(2)
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°.
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=1.
∴CD=$\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∴$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}OD\cdot CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
同理可得$S_{\triangle OCE}=\frac{1}{2}OE\cdot CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形DOEC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
(1)连接OC.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC.
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°.
在△CDO和△CEO中，$\begin{cases} ∠CDO=∠CEO, \\ ∠AOC=∠BOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△CDO≌△CEO(AAS).
∴CD=CE.
(2)
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°.
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=1.
∴CD=$\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∴$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}OD\cdot CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
同理可得$S_{\triangle OCE}=\frac{1}{2}OE\cdot CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形DOEC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,过____的任意一条直线都是它的对称轴.
答案：
圆心
2. 垂径定理:____的直径平分____以及弦所对的两条____.
答案：
垂直于弦 弦 弧
3. 过$\odot O内一点P的最长弦长为10cm$,最短弦长为$6cm$,则$OP$的长为____$cm$.
答案：
4
4. 如图,某古城大门口的平面图上方是半圆,下方是矩形,有一辆装货后宽3米的货车从大门中间进入古城,那么货车装货后的最大高度为____米.
答案：
5 [解析]如图,设半圆的圆心为O,由已知得OB=$\frac{3}{2}$米,OA=$\frac{5}{2}$米,
在Rt△AOB中,根据勾股定理，得AB=$\sqrt{OA^{2}-OB^{2}}$=$\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}$=2(米),
∴AC=2+3=5(米).即货车装货后的最大高度为5米.
5 [解析]如图,设半圆的圆心为O,由已知得OB=$\frac{3}{2}$米,OA=$\frac{5}{2}$米,
在Rt△AOB中,根据勾股定理，得AB=$\sqrt{OA^{2}-OB^{2}}$=$\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}$=2(米),
∴AC=2+3=5(米).即货车装货后的最大高度为5米.
5. 中考新考法 课题实践活动 (2024·扬州高邮期中)综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图(1)茶碗的碗口直径.小靓同学所在的学习小组的方法:如图(2),将纸条拉直紧贴碗口上,纸条的上下边沿分别与碗口相交于$A$、$B$、$C$、$D$四点,若该纸条宽为$8cm$,用刻度尺量得$AB= 6cm$,$CD= 10cm$,则碗口的半径为____$cm$.(结果保留根号)
答案：
$\sqrt{34}$ [解析]如图，过圆心O作MN⊥AB，连接OD、OB,
∴MN=8cm.
∵CD//AB,
∴MN⊥CD,
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×10=5(cm),BN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3(cm).
设OM=xcm,
∴ON=MN−OM=(8−x)cm.
∵OM²+MD²=OD²,ON²+BN²=OB²,
∴OM²+MD²=ON²+BN²,
∴x²+5²=(8−x)²+3²,
∴x=3,
∴OM=3cm,
∴OD=$\sqrt{OM^{2}+MD^{2}}$=$\sqrt{34}$(cm).
$\sqrt{34}$ [解析]如图，过圆心O作MN⊥AB，连接OD、OB,
∴MN=8cm.
∵CD//AB,
∴MN⊥CD,
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×10=5(cm),BN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3(cm).
设OM=xcm,
∴ON=MN−OM=(8−x)cm.
∵OM²+MD²=OD²,ON²+BN²=OB²,
∴OM²+MD²=ON²+BN²,
∴x²+5²=(8−x)²+3²,
∴x=3,
∴OM=3cm,
∴OD=$\sqrt{OM^{2}+MD^{2}}$=$\sqrt{34}$(cm).
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