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1. 三角形的内切圆的定义:
与三角形各边都____的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的____.
与三角形各边都____的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的____.
答案：
相切 外切三角形
2. 三角形的内心:
(1)定义:三角形的____叫做三角形的内心;
(2)性质:①三角形的内心是三角形____的交点;
②三角形的内心到三角形____的距离相等.
(1)定义:三角形的____叫做三角形的内心;
(2)性质:①三角形的内心是三角形____的交点;
②三角形的内心到三角形____的距离相等.
答案：
(1)内切圆的圆心
(2)三条角平分线 三边
(1)内切圆的圆心
(2)三条角平分线 三边
3. 三角形内切圆的半径r与三角形面积S、周长C的数量关系是:____.
答案：
r=$\frac{2S}{C}$
4. (2024·泰州海陵区期末)如图,在△ABC中,∠BAC= 70°,I是△ABC的内心,连接AI并延长至点D,使ID= BD,则∠DBC的度数是( ).
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
答案：
B
5. 中考新考法 操作探究 如图,在四边形材料ABCD中,AD//BC,∠A= 90°,AD= 9cm,AB= 20cm,BC= 24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是( ).
A.$\frac{110}{13}cm$
B.8cm
C.$6\sqrt{2}cm$
D.10cm
A.$\frac{110}{13}cm$
B.8cm
C.$6\sqrt{2}cm$
D.10cm
答案：
B [解析]如图,当AB、BC、CD与$\odot O$相切于点E、F、G时,$\odot O$的面积最大.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG,过点D作$DH\perp BC$于点H.
$\because AD// CB,\angle BAD=90^{\circ},\therefore \angle ABC=90^{\circ}.$
又$\angle DHB=90^{\circ},\therefore$四边形ABHD是矩形,
$\therefore AB=DH=20cm,AD=BH=9cm.$
$\because BC=24cm,\therefore CH=BC - BH=24 - 9=15(cm),$
$\therefore$在$Rt\triangle CDH$中,$CD=\sqrt{DH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25(cm)$.设$OE=OF=OG=rcm,$
则$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle DOC}+S_{\triangle AOD}$,即$\frac{1}{2}×(9 + 24)×20=\frac{1}{2}×20× r+\frac{1}{2}×24× r+\frac{1}{2}×25× r+\frac{1}{2}×9×(20 - r)$,解得$r=8$.故选B.
B [解析]如图,当AB、BC、CD与$\odot O$相切于点E、F、G时,$\odot O$的面积最大.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG,过点D作$DH\perp BC$于点H.
$\because AD// CB,\angle BAD=90^{\circ},\therefore \angle ABC=90^{\circ}.$
又$\angle DHB=90^{\circ},\therefore$四边形ABHD是矩形,
$\therefore AB=DH=20cm,AD=BH=9cm.$
$\because BC=24cm,\therefore CH=BC - BH=24 - 9=15(cm),$
$\therefore$在$Rt\triangle CDH$中,$CD=\sqrt{DH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25(cm)$.设$OE=OF=OG=rcm,$
则$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle DOC}+S_{\triangle AOD}$,即$\frac{1}{2}×(9 + 24)×20=\frac{1}{2}×20× r+\frac{1}{2}×24× r+\frac{1}{2}×25× r+\frac{1}{2}×9×(20 - r)$,解得$r=8$.故选B.
6. 提分优练 如图,BC为△ABC的外接圆⊙O的直径,点M为△ABC的内心,连接AM并延长交⊙O于点D,连接CD.
(1)求∠BCD的大小;
(2)若CD= 4,求DM的值.
(1)求∠BCD的大小;
(2)若CD= 4,求DM的值.
答案：
(1)$\because BC$为$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$的直径,
$\therefore \angle BAC=90^{\circ}.\because$点M为$\triangle ABC$的内心,
$\therefore \angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=45^{\circ},$
$\therefore \angle BCD=\angle BAD=45^{\circ}.$
(2)连接CM.$\because$点M为$\triangle ABC$的内心,
$\therefore \angle BAD=\angle CAD,\angle ACM=\angle BCM.$
$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD},\therefore \angle BAD=\angle BCD,$
$\therefore \angle CAD=\angle BCD.$
$\because \angle DMC=\angle CAD+\angle ACM,\angle DCM=\angle BCD+\angle BCM,$
$\therefore \angle DMC=\angle DCM,\therefore DM=CD=4.$
(1)$\because BC$为$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$的直径,
$\therefore \angle BAC=90^{\circ}.\because$点M为$\triangle ABC$的内心,
$\therefore \angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=45^{\circ},$
$\therefore \angle BCD=\angle BAD=45^{\circ}.$
(2)连接CM.$\because$点M为$\triangle ABC$的内心,
$\therefore \angle BAD=\angle CAD,\angle ACM=\angle BCM.$
$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD},\therefore \angle BAD=\angle BCD,$
$\therefore \angle CAD=\angle BCD.$
$\because \angle DMC=\angle CAD+\angle ACM,\angle DCM=\angle BCD+\angle BCM,$
$\therefore \angle DMC=\angle DCM,\therefore DM=CD=4.$
1. 切线的作图:过圆上一点可以作圆的唯一一条切线,过圆外一点可以作圆的____条切线,过圆内一点____作出圆的切线(填“能”或“不能”).
答案：
两 不能
2. 切线长的定义:在经过圆外一点的圆的切线上,这点与____之间的线段的____叫做这点到这个圆的切线长.
答案：
切点 长
3. 切线长定理:从圆外一点所画的圆的两条____相等.
答案：
切线长
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