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1. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有实数根的条件为____,它的求根公式是____.用求根公式解一元二次方程的方法叫做____.
答案：
$b^{2}-4ac\geqslant 0$ $x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ 公式法
2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程整理成____；(2)指出$a$、$b$、$c$；(3)计算____；(4)若$b^{2}-4ac≥0$,则代入求根公式求解；若$b^{2}-4ac＜0$,则原方程____(填“有”或“没有”)实数根.
(1)将方程整理成____；(2)指出$a$、$b$、$c$；(3)计算____；(4)若$b^{2}-4ac≥0$,则代入求根公式求解；若$b^{2}-4ac＜0$,则原方程____(填“有”或“没有”)实数根.
答案：
一般形式 $b^{2}-4ac$ 没有
3. 用公式解方程$-3x^{2}+5x-1= 0$,正确的是( ).
A.$x= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
B.$x= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{3}$
C.$x= \frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
D.$x= \frac{5\pm\sqrt{13}}{3}$
A.$x= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
B.$x= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{3}$
C.$x= \frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
D.$x= \frac{5\pm\sqrt{13}}{3}$
答案：
C
4. 中考新考法 新定义问题 对于两个不相等的实数$a$、$b$,我们规定符号$Max\{a,b\}表示a$、$b$中的较大值,如：$Max\{1,3\}= 3$,按照这个规定,方程$Max\{1,x\}= x^{2}-6$的解为____.
答案：
$x=3$或$-\sqrt {7}$[解析]当$x＞1$时,方程为$x^{2}-6=x$,即$x^{2}-x-6=0$,解得$x_{1}=-2$(舍去),$x_{2}=3$,$\therefore$此时$x=3$;当$x＜1$时,方程为$x^{2}-6=1$,解得$x_{1}=\sqrt {7}$(舍去),$x_{2}=-\sqrt {7}$,$\therefore$此时$x=-\sqrt {7}$.
5. 提分优练 (2025·连云港东海期中)小明在解方程：$x^{2}-5x= -3$的过程中出现了错误,其解答如下：
解：$\because a= 1$,$b= -5$,$c= -3$,……$$第一步
$\therefore b^{2}-4ac= (-5)^{2}-4×1×(-3)= 37$,……$$第二步
$\therefore x= \frac{5\pm\sqrt{37}}{2}$,……$$第三步
$\therefore x_{1}= \frac{5+\sqrt{37}}{2}$,$x_{2}= \frac{5-\sqrt{37}}{2}$.……$$第四步
(1)问：小明的解答是从第____步开始出错的？
(2)请写出本题正确的解答.
解：$\because a= 1$,$b= -5$,$c= -3$,……$$第一步
$\therefore b^{2}-4ac= (-5)^{2}-4×1×(-3)= 37$,……$$第二步
$\therefore x= \frac{5\pm\sqrt{37}}{2}$,……$$第三步
$\therefore x_{1}= \frac{5+\sqrt{37}}{2}$,$x_{2}= \frac{5-\sqrt{37}}{2}$.……$$第四步
(1)问：小明的解答是从第____步开始出错的？
(2)请写出本题正确的解答.
答案：
(1)一
(2)方程化为一般式为$x^{2}-5x+3=0$,$\because a=1$,$b=-5$,$c=3$,$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×3=13＞0$,$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {5\pm \sqrt {13}}{2×1}$,$\therefore x_{1}=\frac {5+\sqrt {13}}{2}$,$x_{2}=\frac {5-\sqrt {13}}{2}$.
(1)一
(2)方程化为一般式为$x^{2}-5x+3=0$,$\because a=1$,$b=-5$,$c=3$,$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×3=13＞0$,$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {5\pm \sqrt {13}}{2×1}$,$\therefore x_{1}=\frac {5+\sqrt {13}}{2}$,$x_{2}=\frac {5-\sqrt {13}}{2}$.
1.根的判别式的定义:我们把____叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的根的判别式,记作$Δ=$____.
答案：
$b^{2}-4ac$ $b^{2}-4ac$
2.根的判别式的性质:对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$来说:
(1)$b^{2}-4ac＞0\Leftrightarrow $方程____;
(2)____$\Leftrightarrow $方程有两个相等的实数根;
(3)____$\Leftrightarrow $方程没有实数根.(提醒:注意条件“$a≠0$”)
(1)$b^{2}-4ac＞0\Leftrightarrow $方程____;
(2)____$\Leftrightarrow $方程有两个相等的实数根;
(3)____$\Leftrightarrow $方程没有实数根.(提醒:注意条件“$a≠0$”)
答案：
有两个不相等的实数根 $b^{2}-4ac=0$ $b^{2}-4ac＜0$
3.(2025·镇江期中)若关于x的一元二次方程$(k-2)x^{2}-2kx+k= 0$有实数根,则k的取值范围是( ).
A.$k＞0$
B.$k≥0$
C.$k≥0且k≠2$
D.$k＜0$
A.$k＞0$
B.$k≥0$
C.$k≥0且k≠2$
D.$k＜0$
答案：
C 解析
∵关于x的一元二次方程$(k-2)x^{2}-2kx+k=0$有实数根，
→不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件
$\therefore k-2≠0$且$(-2k)^{2}-4(k-2)k≥0,$
解得$k≥0$且$k≠2.$
故选C.
∵关于x的一元二次方程$(k-2)x^{2}-2kx+k=0$有实数根，
→不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件
$\therefore k-2≠0$且$(-2k)^{2}-4(k-2)k≥0,$
解得$k≥0$且$k≠2.$
故选C.
4.若一元二次方程$x^{2}+x-c= 0$没有实数根,则c的取值范围是____.
答案：
$c＜-\frac {1}{4}$
5.中考新考法 新定义问题 (2024·无锡新吴区期末)定义:如果两个一元二次方程分别有两个实数根,且至少有一个公共根,那么称这两个方程互为“联根方程”.已知关于x的两个一元二次方程$x^{2}-(2+a)x+2a= 0和(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2= 0$互为联根方程,那么a的值为____.
答案：
-2 解析 $\because x^{2}-(2+a)x+2a=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=a$,且关于x的两个一元二次方程$x^{2}-(2+a)x+2a=0$和$(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2=0$互为联根方程,$\therefore x=2$或$x=a$是关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2=0$的根.将$x=2$代入方程$(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2=0$,得$4(a-1)-2a^{2}-a+2=0$,整理得$2a^{2}-3a+2=0.\because \Delta =(-3)^{2}-4×2×2=-7＜0$,
∴此时该方程无实数根,即$x=2$不是关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2=0$的解;将$x=a$代入方程$(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2=0$,得$(a-1)a^{2}-a^{3}-a+2=0$,整理得$a^{2}+a-2=0$,解得$a_{1}=-2,a_{2}=1$.又$a-1≠0,\therefore a=-2$
∴a的值为-2.
∴此时该方程无实数根,即$x=2$不是关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2=0$的解;将$x=a$代入方程$(a-1)x^{2}-a^{2}x-a+2=0$,得$(a-1)a^{2}-a^{3}-a+2=0$,整理得$a^{2}+a-2=0$,解得$a_{1}=-2,a_{2}=1$.又$a-1≠0,\therefore a=-2$
∴a的值为-2.
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