《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版8河南专版》

1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段. 则图中表示长为$\sqrt{5}$的线段是b.

答案： 1. b

2. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1. 请在图中画出线段 $AB$，$CD$，$EF$，使 $AB = \sqrt{2}$，$CD = \sqrt{10}$，$EF = \sqrt{20}$.

答案：
2. 解：如图所示

3. 如图所示的一块地，已知$\angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 12$m，$CD = 9$m，$AB = 25$m，$BC = 20$m，则这块地的面积为96$m^{2}$.

答案： 3. 96

4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，四边形 $ABCD$ 的四个顶点都在格线的交点上，连结 $AC$，请判断$\triangle ADC$和$\triangle ABC$是什么特殊形状的三角形，并说明理由.

答案： 4. 解：△ADC是直角三角形，△ABC是等腰三角形.理由：由勾股定理，得$AC = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5，$$AD = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}，$$CD = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20}.\therefore AD^{2} + CD^{2} = AC^{2}.\therefore △ADC$是直角三角形，且$\angle ADC = 90^{\circ}.\because BC = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5，$AC = 5，$\therefore AC = BC.\therefore △ABC$是等腰三角形.

5. 如图，$\angle A = \angle OCD = 90^{\circ}$，$OA = 2$，$OD = \sqrt{7}$，$AB = BC = CD = 1$，则$\triangle OBC$的形状是直角三角形.

答案： 5. 直角三角形

6. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为 1，$\triangle ABC$的顶点 $A$，$B$，$C$均在正方形格点上，则下列结论错误的是(C)

A.$AB^{2} = 20$
B.$\angle BAC = 90^{\circ}$
C.$S_{\triangle ABC} = 10$
D.点 $A$ 到直线 $BC$ 的距离是 2

答案： 6. C

7. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点，$F$ 是 $CD$ 上一点，且 $CF = \frac{1}{4}CD$. 求证：$\angle AEF = 90^{\circ}$.

答案： 7. 证明：$\because $四边形ABCD为正方形，$\therefore AB = BC = CD = DA，$$\angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}.$设$AB = BC = CD = DA = 4a.\because E$是BC的中点，且$CF = \frac{1}{4}CD，$$\therefore BE = EC = 2a，$CF = a，DF = 4a - a = 3a.在Rt△ABE中，由勾股定理，得$AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = 20a^{2}，$同理可得，$EF^{2} = EC^{2} + FC^{2} = 5a^{2}，$$AF^{2} = AD^{2} + DF^{2} = 25a^{2}，$$\therefore AE^{2} + EF^{2} = AF^{2}.\therefore △AEF$为直角三角形$.\therefore \angle AEF = 90^{\circ}.$