《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版8河南专版》

6. 【阅读材料】分解因式：$mx + nx + my + ny=(mx + nx)+(my + ny)=x(m + n)+y(m + n)=(m + n)(x + y)$，以上分解因式的方法称为分组分解法。对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”，也可以是“三、一(或一、三)分组”。
根据以上阅读材料解决问题：
【跟着学】分解因式：

【我也可以】分解因式：$4x^{2}-2x - y^{2}-y$。
【拓展训练】已知 $a$，$b$，$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长，若 $a^{2}+b^{2}+2c^{2}-2ac - 2bc = 0$，则 $\triangle ABC$ 的形状为等边三角形。

答案： 6. 解：【跟着学】a²b ab² a+b b² a²-b² (a-b)(a+b)² 【我也可以】原式=(4x²-y²)-(2x+y)=(2x-y)(2x+y)-(2x+y)=(2x+y)(2x-y-1).【拓展训练】等边三角形

7. 湖南师大附中校本经典题 阅读下列解题的过程。
分解因式：$x^{4}+64$。
解：$x^{4}+64=x^{4}+16x^{2}+64 - 16x^{2}=(x^{2}+8)^{2}-16x^{2}=(x^{2}+8 + 4x)(x^{2}+8 - 4x)$。
请按照上述解题思路完成下列分解因式：
(1) $a^{4}+4$；
(2) $x^{4}-43x^{2}y^{2}+81y^{4}$。

答案： 7. 解：
(1)原式=a⁴+4a²+4-4a²=(a²+2)²-4a²=(a²+2a+2)(a²-2a+2).
(2)原式=x⁴-18x²y²+81y⁴-25x²y²=(x²-9y²)²-25x²y²=(x²-9y²+5xy)(x²-9y²-5xy).

8. 计算 $(-2)^{100}+(-2)^{101}$ 的结果是(A)

A.$-2^{100}$
B.$2^{100}$
C.$-2$
D.$-1$

答案： 8.A

9. 若 $a - b = 1$，则 $a^{3}-a^{2}b + b^{2}-2ab$ 的值为1。

答案： 9.1

10. 华师二附中校本经典题 (2024·南阳宛城区月考)阅读理解并解答：
我们把多项式 $a^{2}+2ab + b^{2}$，$a^{2}-2ab + b^{2}$ 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式值的最大(或最小)值问题。例如：
① $x^{2}+2x + 3=x^{2}+2x + 1 + 2=(x + 1)^{2}+2$。
$\because(x + 1)^{2}$ 是非负数，即 $(x + 1)^{2}\geq0$，
$\therefore(x + 1)^{2}+2\geq2$。
则代数式 $x^{2}+2x + 3$ 的最小值是 $2$，这时相应的 $x$ 的值是 $-1$。
② $3x^{2}-12x + 5=3(x^{2}-4x)+5=3(x^{2}-4x + 4 - 4)+5=3(x - 2)^{2}-12 + 5=3(x - 2)^{2}-7$。
$\because(x - 2)^{2}$ 是非负数，即 $(x - 2)^{2}\geq0$，
$\therefore3(x - 2)^{2}-7\geq - 7$。
(1) 代数式 $3x^{2}-12x + 5$ 的最小值是-7，这时相应的 $x$ 的值是2；
(2) 知识再现：当 $x=$3时，代数式 $x^{2}-6x + 12$ 有最小值，这个值是3；
(3) 知识运用：若 $y=-x^{2}+2x - 3$，则当 $x=$1时，$y$ 有最大值(填“大”或“小”)，这个值是-2；
(4) 知识拓展：若 $-x^{2}+3x + y + 5 = 0$，求 $y + x$ 的最小值。

答案： 10. 解：
(1)-7 2
(2)3 3
(3)1 大 -2
(4)
∵-x²+3x+y+5=0,
∴y=x²-3x-5.
∴x+y=x²-2x-5=(x-1)²-6.
∵(x-1)²是非负数，即(x-1)²≥0,
∴(x-1)²-6≥-6，即y+x的最小值为-6.