《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版8河南专版》

3. 试说明：代数式$(-a + 3)(a + 3) - a(1 - a) + a$的值与$a$的取值无关。

答案： 3. 解：原式=$9 - a^{2}-a + a^{2}+a = 9$.$\because$计算结果中不含字母$a$，$\therefore$代数式$(-a + 3)(a + 3)-a(1 - a)+a$的值与$a$的取值无关.

4. 化简：$(x - y)^2 + (x + y)(x - y) - 5x(x - y)$。
(1) 若$x$是任意整数，请观察化简后的结果，它能被$3$整除吗？
(2) 当$(x - 1)^2 + |y + 2| = 0$时，求代数式的值。

答案： 4. 解：
(1)原式=$x^{2}-2xy + y^{2}+x^{2}-y^{2}-5x^{2}+5xy=-3x^{2}+3xy$. $\because -3x^{2}+3xy$是$3$的倍数，$\therefore$它能被$3$整除.
(2)$\because (x - 1)^{2}+\vert y + 2\vert = 0$，$\therefore x - 1 = 0$，$y + 2 = 0$.$\therefore x = 1$，$y = -2$. 当$x = 1$，$y = -2$时，原式=$-3 × 1^{2}+3 × 1 × (-2)=-3 - 6=-9$.

5. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - y = 2a + 1,①\\x + 2y = 5a - 5,②\end{cases}$其中$a$是实数。
(1) 请用含$a$的代数式分别表示$x$，$y$；
(2) 若$x$，$y$满足$2^x \cdot 8^y = 32$，求$(a - 3)^{2025}$的值；
(3) 试说明：不论$a$取何实数，$(x - 3y)^2 - 5$的值始终不变。

答案： 5. 解：
(1)①$× 2 +$②，得$3x = 9a - 3$，解得$x = 3a - 1$. 将$x = 3a - 1$代入
①，得$3a - 1 - y = 2a + 1$，解得$y = a - 2$.$\therefore \begin{cases}x = 3a - 1,\\y = a - 2.\end{cases}$
(2)$\because 2^{x} \cdot 8^{y}=32$，$\therefore 2^{x} \cdot (2^{3})^{y}=32$.$\therefore 2^{x + 3y}=2^{5}$.$\therefore x + 3y = 5$. 将
(1)中结果代入，得$3a - 1 + 3(a - 2)=5$，解得$a = 2$.$\therefore (a - 3)^{2025}=(2 - 3)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$.
(3)$\because (x - 3y)^{2}-5=[3a - 1 - 3(a - 2)]^{2}-5=5^{2}-5=25 - 5=20$，$\therefore$不论$a$取何实数，$(x - 3y)^{2}-5$的值始终不变.

6. (2023·南阳卧龙区期中)【发现】任意五个连续整数的平方和是$5$的倍数。
【验证】
(1) $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$的结果是$5$的几倍？
(2) 设五个连续整数的中间一个数为$n$，求出它们的平方和，并说明是$5$的倍数。
【延伸】
(3) 任意三个连续整数的平方和被$3$除的余数是2。

答案： 6. 解：
(1)$(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=1 + 0 + 1 + 4 + 9=15$，$15 ÷ 5 = 3$，即$(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}$的结果是$5$的$3$倍.
(2)设五个连续整数的中间一个数为$n$，则其余的$4$个整数分别是$n - 2$，$n - 1$，$n + 1$，$n + 2$. 它们的平方和：$(n - 2)^{2}+(n - 1)^{2}+n^{2}+(n + 1)^{2}+(n + 2)^{2}=n^{2}-4n + 4 + n^{2}-2n + 1 + n^{2}+n^{2}+2n + 1 + n^{2}+4n + 4=5n^{2}+10=5(n^{2}+2)$.$\because n$是整数，$\therefore n^{2}+2$是整数.$\therefore 5(n^{2}+2)$是$5$的倍数.$\therefore$五个连续整数的平方和是$5$的倍数.
(3)$2$