《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版8河南专版》

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 108^{\circ} $，$ AB = AC $，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $，交 $ AC $ 于点 $ D $. 求证：$ BC = CD + AB $.

答案： 4．证明：(方法一：截长法)在BC上取点E，使BE=BA，连结DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD．在△ABD和△EBD中，$\begin{cases} AB=EB,\\ ∠ABD=∠EBD,\\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SAS)．
∴∠BAC=∠BED=BD=BD，
108°．
∴∠DEC=72°．
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠C=∠ABC=36°．
∴∠CDE=72°．
∴∠CDE=∠CED．
∴CD=CE．
∴BC=BE+EC=AB+CD．(方法二：补短法)延长BA至点F，使BF=BC，连结DF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠FBD．在△FBD和△CBD中，$\begin{cases} FB=CB,\\ ∠FBD=∠CBD,\\ BD=BD, \end{cases}$
∴△FBD≌△CBD(SAS)．
∴DF=DC，∠F=∠C．
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠C=∠ABC=36°，∠FAD=72°．
∴∠F=36°．
∴∠FDA=72°．
∴∠FDA=∠FAD．
∴FA=FD．
∴CD=DF=AF．
∴BC=BF=AB+AF=AB+CD．

5. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 2 \angle C $，$ AD \perp BC $，垂足为 $ D $. 若 $ BD = 2 $，$ CD = 8 $，求 $ AB $ 的长（用两种不同方法）.

答案： 5．解：(方法一：内构等腰三角形)在CD上截取DE=BD=2，连结AE．
∵AD⊥BC，
∴AB=AE．
∴∠AEB=∠ABC=2∠C．
∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠C=∠EAC．
∴AE=EC=CD-DE=6．
∴AB=6．(方法二：外构等腰三角形)延长BD至点F，使得BF=AB，连结AF，则∠F=∠BAF．
∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠F=∠C．
∴AF=AC．
∵AD⊥FC，
∴FD=DC=8．
∵BD=2，
∴FB=FD-BD=6．
∴AB=FB=6．