《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版8河南专版》

$13. $利用完全平方公式计算$(60\frac{1}{60})^2$的结果为　　$3602\frac{1}{3600}$　　$.$　　

答案： 13.3602$\frac{1}{3600}$

14. (2024·乐山)已知$a - b = 3$，$ab = 10$，则$a^2 + b^2 = $29$$.

答案： 14.29

15. 计算：
(1)$(a + 2b - 3c)^2$；
(2)$(a + 2b - c)(a - 2b - c)$.

答案： 15.解：
(1)原式=$(a+2b)^{2}-2(a+2b)\cdot3c+(3c)^{2}=a^{2}+4ab+4b^{2}-6ac-12bc+9c^{2}$.
(2)原式=$[(a-c)+2b][(a-c)-2b]=(a-c)^{2}-4b^{2}=a^{2}-2ac+c^{2}-4b^{2}$.

16. 新考向 真实情境(2024·南阳卧龙区期中)某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、两个梯形组成，已知KT板(阴影部分)的尺寸如图2所示.
(1)用含$a$，$b$的代数式表示图2的KT板模型的总面积(结果需化简)；
(2)若$a + b = 7$，$ab = \frac{25}{2}$，求KT板的总面积.

答案： 16.解：
(1)$S_{总}=\frac{1}{2}b\cdot a+\frac{1}{2}(b+3b)\cdot\frac{3}{2}b+\frac{1}{2}(b+6a-2b)\cdot a=\frac{1}{2}ab+3b^{2}+3a^{2}-\frac{1}{2}ab=3b^{2}+3a^{2}$.
(2)$\because a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=7^{2}-2×\frac{25}{2}=49-25=24$,$\therefore$KT板的总面积为$3b^{2}+3a^{2}=3(a^{2}+b^{2})=3×24=72$.

17. 新考向 推理能力(教材P44新增习题T6变式)观察下列各式：
$(2 + 3)^2 - 2^2 = 7×3$；
$(4 + 3)^2 - 4^2 = 11×3$；
$(6 + 3)^2 - 6^2 = 15×3$.
不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
(1)$(8 + 3)^2 - 8^2$的结果是3的$$19$$倍；
(2)设偶数为$2n$，试说明：比$2n$大5的数与$2n$的平方差能被5整除；
(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差除以10的余数是几？请说明理由.

答案： 17.解：
(1)19
(2)$\because$偶数为2n,$\therefore$比2n大5的数为2n+5.$\therefore(2n+5)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+20n+25-4n^{2}=5(4n+5)$.$\because$4n+5为整数,$\therefore5(4n+5)$能被5整除.$\therefore$比2n大5的数与2n的平方差能被5整除.
(3)余数为5.理由如下：设这个数为n,则比n大5的数为n+5.$\therefore(n+5)^{2}-(n)^{2}=n^{2}+10n+25-n^{2}=10n+25$.$\because10n+25=10(n+2)+5$,$\therefore10n+25$除以10的余数是5.$\therefore$比任意一个整数大5的数与此整数的平方差除以10的余数是5.