《2025年名校课堂八年级数学上册华师大版8河南专版》

3. 如图，已知C为射线AD上一点，∠A=∠B，PA=PB，AP与BC相交于点M。若∠APB=2∠CPA，求证：BM=AC+CM。

答案： 3.证明：在BC上截取BG=AC，连结PG.在△ACP和△BGP中， $\left\{ \begin{matrix} AP = BP, \\ \angle A = \angle B, \\ AC = BG \end{matrix} \right.$
∴△ACP≌△BGP(SAS).
∴∠CPA=∠GPB，PC= PG.
∵∠APB=2∠CPA，
∴∠APB=2∠GPB.又
∵∠APB=∠GPB +∠GPA，
∴∠GPA=∠GPB=∠CPA.在△CPM和△GPM中， $\left\{ \begin{matrix} PC = PG, \\ \angle CPM = \angle GPM, \\ PM = PM \end{matrix} \right.$
∴△CPM≌△GPM(SAS).
∴CM=GM.
∴BM= BG+GM=AC+CM.

4. 【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG。先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；
【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，则上述结论是否仍然成立，并说明理由。

答案： 4.解：【问题背景】EF=BE+DF 【探索延伸】上述结论仍然成立.理由 如下：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG.
∵∠ABE+∠ADC= 180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ABE=∠ADG.在△ABE和 △ADG中，$\left\{ \begin{matrix} BE = DG, \\ \angle ABE = \angle ADG, \\ AB = AD \end{matrix} \right.$
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE= AG，∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=$\frac {1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+ ∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.
∴∠EAF= ∠GAF.在△AEF和△AGF中，$\left\{ \begin{matrix} AE = AG, \\ \angle EAF = \angle GAF, \\ AF = AF \end{matrix} \right.$
∴△AEF≌ △AGF(SAS).
∴EF=GF.
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE +DF.

5. 如图，已知CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线。求证：AC=2AE。

答案： 5.证明：延长AE至点F，使AE=EF，连结BF.
∵AE是△ABD的中线，
∴$\left\{ \begin{matrix} AE = FE, \\ \angle AED = \angle FEB, \\ DE = BE \end{matrix} \right.$在△ADE和△FBE中，
∴△ADE≌ △FBE(SAS).
∴BF=DA，∠FBE=∠ADE.
∵∠ABF=∠ABD+ ∠FBE，
∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC. 在△ABF和△CDA中，$\left\{ \begin{matrix} AB = CD, \\ \angle ABF = \angle CDA, \\ BF = DA \end{matrix} \right.$
∴△ABF≌△CDA (SAS).
∴AC=AF.
∵AF=2AE，
∴AC=2AE.