《2025年假期作业八年级数学人教版山东美术出版社》

1. 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 和 $ Rt\triangle BDE $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ \angle D = 90^{\circ} $，$ AC = BD = a $，$ BC = DE = b $，$ AB = BE = c $，试利用此图形证明勾股定理。
证明：∵∠C = 90°，∠D = 90°，AC = BD = a，BC = DE = b，AB = BE = c，Rt△ACB≌Rt△BDE，∴∠ABC = ∠BED，∠BAC = ∠EBD，∵∠ABC + ∠DBE = 90°，
∴∠ABE = 90°，三个直角三角形其面积分别为$\frac{1}{2}$ab，$\frac{1}{2}$ab和$\frac{1}{2}$c²．直角梯形的面积为$\frac{1}{2}$(a + b)(a + b)．由图形可知：$\frac{1}{2}$(a + b)(a + b) = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c²，整理得(a + b)² = 2ab + c²，a² + b² + 2ab = c²，∴a² + b² = c²．

答案： 证明：
∵∠C = 90°，∠D = 90°，AC = BD = a，BC = DE = b，AB = BE = c，Rt△ACB≌Rt△BDE，
∴∠ABC = ∠BED，∠BAC = ∠EBD，
∵∠ABC + ∠DBE = 90°，
∴∠ABE = 90°，三个直角三角形其面积分别为$\frac{1}{2}$ab，$\frac{1}{2}$ab和$\frac{1}{2}$c²．直角梯形的面积为$\frac{1}{2}$(a + b)(a + b)．由图形可知：$\frac{1}{2}$(a + b)(a + b) = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c²，整理得(a + b)² = 2ab + c²，a² + b² + 2ab = c²，
∴a² + b² = c²．

2. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = AD = 3 $，$ DC = 4 $，$ \angle A = 60^{\circ} $，$ \angle D = 150^{\circ} $，试求 $ BC $ 的长度为5。

答案： 5

3. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理。如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 50 海里的速度向正东方向航行。在 $ A $ 处测得灯塔 $ P $ 在北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上，继续航行 1 小时到达 $ B $ 处，此时测得灯塔 $ P $ 在北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上。

（1）求 $ \angle APB $ 的度数；30°
（2）已知在灯塔 $ P $ 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？是安全的

答案：
(1)30°　
(2)是安全的