《2025年假期作业八年级数学人教版山东美术出版社》

1. 如图，在边长为$6$的正方形$ABCD$中，$E$是边$CD$的中点，将$\triangle ADE$沿$AE$对折至$\triangle AFE$，延长$EF$交$BC$于点$G$，连接$AG$.
（1）求证：$\triangle ABG\cong\triangle AFG$；
（2）求$BG$的长.

（1）证明：在正方形$ABCD$中，$AD = AB$，$\angle D = \angle B = 90^{\circ}$。$\because$将$\triangle ADE$沿$AE$对折至$\triangle AFE$。$\therefore AD = AF$，$DE = EF$，$\angle D = \angle AFE = 90^{\circ}$。$\therefore AB = AF$，$\angle B = \angle$AFG，$\angle ABG = 90^{\circ}$。又$\because AG = AG$，$\therefore Rt\triangle ABG \cong Rt\triangle AFG$(HL)。
（2）$\because \triangle ABG \cong \triangle AFG$，$\therefore BG = FG$。设$BG = FG = x(x ＞ 0)$，则$GC = 6 - x$。$\because E$为$CD$的中点，$\therefore CE = DE = EF = 3$，$\therefore EG = 3 + x$。在$Rt\triangle CEG$中，$3^{2} + (6 - x)^{2} = (3 + x)^{2}$，解得$x =$2，$\therefore BG =$2。

答案： 解：
(1)证明：在正方形$ABCD$中，
$AD = AB$，$\angle D = \angle B = 90^{\circ}$。
$\because$将$\triangle ADE$沿$AE$对折至$\triangle AEF$。
$\therefore AD = AF$，$DE = EF$，$\angle D = \angle AFE = 90^{\circ}$。
$\therefore AB = AF$，$\angle B = \angle A$，$\angle ABG = 90^{\circ}$。
又$\because AG = AG$，$\therefore Rt\triangle ABG \cong Rt\triangle AFG(HL)$。
(2)$\because \triangle ABG \cong \triangle AFG$，$\therefore BG = FG$。
设$BG = FG = x(x ＞ 0)$，则$GC = 6 - x$。
$\because E$为$CD$的中点，$\therefore CE = DE = EF = 3$，$\therefore EG = 3 + x$。
在$Rt\triangle CEG$中，$3^{2} + (6 - x)^{2} = (3 + x)^{2}$，解得$x = 2$，
$\therefore BG = 2$。

2. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AB=5\mathrm{cm}$，$AC=3\mathrm{cm}$，动点$P$从点$B$出发沿射线$BC$以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度移动，设运动的时间为$t$秒.
（1）求$BC$边的长；4 cm
（2）当$\triangle ABP$为直角三角形时，借助图①求$t$的值；4 或$\frac{25}{4}$
（3）当$\triangle ABP$为等腰三角形时，借助图②求$t$的值.$t = 5$或$t = 8$或$t = \frac{25}{8}$

答案：
(1)4 cm
(2)4 或$\frac{25}{4}$
(3)$t = 5$或$t = 8$或$t = \frac{25}{8}$