《2025年假期作业八年级数学人教版山东美术出版社》

1. 如图，平行四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$BC$，$AD$的中点，求证：$∠ABF=∠CDE$.

证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC，∠C = ∠A，
∵ E，F 分别是边 BC，AD 的中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$BC，AF = $\frac{1}{2}$AD，
∴ AF = CE.
∴ △ABF ≌ △CDE(SAS)，
∴ ∠ABF = ∠CDE.

答案： 证明：
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC，∠C = ∠A，
∵ E，F 分别是边 BC，AD 的中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$BC，AF = $\frac{1}{2}$AD，
∴ AF = CE.
∴ △ABF ≌ △CDE(SAS)，
∴ ∠ABF = ∠CDE.

2. 如图，把$\triangle ABC$沿$BC$翻折得$\triangle DBC$.
（1）连接$AD$，则$BC$与$AD$的位置关系是______BC 垂直平分 AD；
（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形$ABDC$是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由.添加的条件是AB = AC.理由：由折叠的性质可得$AB=DB$，$AC=DC$，因为$AB=AC$，所以$AB=DC$，$AC=DB$，所以四边形$ABDC$是平行四边形.

答案：
(1) BC 垂直平分 AD
(2) AB = AC

3. 已知：如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$的直线分别与$AD$，$BC$相交于点$E$，$F$.求证：$AE=CF$.

证明：∵ $□ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，
∴ AO = CO，AD // BC，∴ ∠EAC = ∠FCO.
在 $△AOE$ 和 $△COF$ 中 $\left\{\begin{array}{l} ∠EAO = ∠FCO,\\ AO = CO,\\ ∠AOE = ∠COF,\end{array}\right.$
∴ $△AOE ≌ △COF$(ASA)，∴ $AE = CF$.

答案： 证明：
∵ □ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴ AO = CO，AD // BC，
∴ ∠EAC = ∠FCO.
在 △AOE 和 △COF 中 $\left\{\begin{array}{l} ∠EAO = ∠COF,\\ AO = CO,\\ ∠AOE = ∠COF,\end{array}\right.$
∴ △AOE ≌ △COF(ASA)，
∴ AE = CF.