《2025年假期作业八年级数学人教版山东美术出版社》

1. 如图,平行四边形$ABCD$中,点$E$,$F$在直线$AC$上(点$E$在$F$左侧,)$BE// DF$.
(1)求证:四边形$BEDF$是平行四边形.
(2)若$AB⊥AC$,$AB=4$,$BC=2\sqrt{13}$,当四边形$BEDF$为矩形时,求线段$AE$的长.

答案：

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$，
∴ $∠DAF = ∠BCE$。
又
∵ $BE// DF$，
∴ $∠BEC = ∠DFA$。
在 $\triangle BEC$ 与 $\triangle DFA$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BEC = ∠DFA,\\ ∠BCE = ∠DAF,\\ BC = AD,\end{array}\right.$
∴ $\triangle BEC\cong \triangle DFA(AAS)$，
∴ $BE = DF$。
又
∵ $BE// DF$，
∴ 四边形 $BEDF$ 为平行四边形。
(2) 连接 $BD$，$BD$ 与 $AC$ 相交于点 $O$，如图，
∵ $AB\perp AC$，$AB = 4$，$BC = 2\sqrt{13}$，
∴ $AC = 6$，
∴ $AO = 3$，
∵ 在 $Rt\triangle BAO$ 中，$BO = 5$，
∵ 四边形 $BEDF$ 是矩形，
∴ $OE = OB = 5$，
∴ 点 $E$ 在 $OA$ 的延长线上，且 $AE = 2$。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC=90^{\circ}$,$D$,$E$分别为$AB$,$AC$的中点,延长$DE$到点$F$,使$EF=2DE$.
(1)求证:四边形$BCFE$是平行四边形.
证明：∵ $D$，$E$ 为 $AB$，$AC$ 的中点，
∴ $DE$ 为 $\triangle ABC$ 的中位线，$DE = \frac{1}{2}BC$，
∴ $DE// BC$，即 $EF// BC$，∵ $EF=2DE$，$BC=2DE$，∴ $EF = BC$，
∴ 四边形 $BCFE$ 为平行四边形。
(2)当$∠ACB=60^{\circ}$时,求证:四边形$BCFE$是菱形.
证明：∵ 四边形 $BCFE$ 为平行四边形，
且 $∠ACB = 60^{\circ}$，$E$为$AC$中点，$∠ABC=90^{\circ}$，∴ $BC = CE$，
∴ 四边形 $BCFE$ 是菱形。

答案： 证明：
(1)
∵ $D$，$E$ 为 $AB$，$AC$ 的中点，
∴ $DE$ 为 $\triangle ABC$ 的中位线，$DE = \frac{1}{2}BC$，
∴ $DE// BC$，即 $EF// BC$，
∴ $EF = BC$，
∴ 四边形 $BCFE$ 为平行四边形。
(2)
∵ 四边形 $BCFE$ 为平行四边形，
且 $∠ACB = 60^{\circ}$，
∴ $BC = CE = BE$，
∴ 四边形 $BCFE$ 是菱形。

3. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ADB=90^{\circ}$,点$E$为$AB$边的中点,点$F$为$CD$边的中点.
(1)求证:四边形$DEBF$是菱形.
(2)当$∠A$等于多少度时,四边形$DEBF$是正方形? 并说明你的理由.


(1) 证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $DC// AB$，$DC = AB$，
∵ 点 $E$ 为 $AB$ 边的中点，点 $F$ 为 $CD$ 边的中点，
∴ $DF// BE$，$DF = BE$。
∴ 四边形 $DEBF$ 是平行四边形，
∵ $∠ADB = 90^{\circ}$，点 $E$ 为 $AB$ 边的中点，
∴ $DE = BE = AE$，∴ 四边形 $DEBF$ 是菱形。
(2) 当$∠A$等于$45^{\circ}$时,四边形$DEBF$是正方形,并说明你的理由.
理由如下：
∵ $∠ADB = 90^{\circ}$，$∠A = 45^{\circ}$，∴ $∠A = ∠ABD = 45^{\circ}$，
∴ $AD = BD$，∵ $E$ 为 $AB$ 的中点，
∴ $DE\perp AB$，即 $∠DEB = 90^{\circ}$，
∵ 四边形 $DEBF$ 是菱形，
∴ 四边形 $DEBF$ 是正方形。

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $DC// AB$，$DC = AB$，
∵ 点 $E$ 为 $AB$ 边的中点，点 $F$ 为 $CD$ 边的中点，
∴ $DF// BE$，$DF = BE$。
∴ 四边形 $DEBF$ 是平行四边形，
∵ $∠ADB = 90^{\circ}$，点 $E$ 为 $AB$ 边的中点，
∴ $DE = BE = AE$，
∴ 四边形 $DEBF$ 是菱形。
(2) 当 $∠A = 45^{\circ}$，四边形 $DEBF$ 是正方形，
理由如下：
∵ $∠ADB = 90^{\circ}$，$∠A = 45^{\circ}$，
∴ $∠A = ∠ABD = 45^{\circ}$，
∴ $AD = BD$，
∵ $E$ 为 $AB$ 的中点，
∴ $DE\perp AB$，即 $∠DEB = 90^{\circ}$，
∵ 四边形 $DEBF$ 是菱形，
∴ 四边形 $DEBF$ 是正方形。