《2025年暑假作业中国地图出版社八年级数学》

7. 先阅读下列解答过程,然后作答.
形如$\sqrt {m\pm 2\sqrt {n}}$的化简,只要我们找到两个数$a$,$b$,使$a+b= m$,$ab= n$,这样$(\sqrt {a})^{2}+(\sqrt {b})^{2}= m$,$\sqrt {a}\cdot \sqrt {b}= \sqrt {n}$,那么便有$\sqrt {m\pm 2\sqrt {n}}= \sqrt {(\sqrt {a}\pm \sqrt {b})^{2}}= \sqrt {a}\pm \sqrt {b}(a＞b)$,例如:化简$\sqrt {7+4\sqrt {3}}$.
解:首先把$\sqrt {7+4\sqrt {3}}化为\sqrt {7+2\sqrt {12}}$,
这里$m= 7$,$n= 12$,
由于$4+3= 7$,$4×3= 12$,
即$(\sqrt {4})^{2}+(\sqrt {3})^{2}= 7$,$\sqrt {4}×\sqrt {3}= 12$,
$\therefore \sqrt {7+4\sqrt {3}}= \sqrt {7+2\sqrt {12}}= \sqrt {(\sqrt {4}+\sqrt {3})^{2}}= 2+\sqrt {3}$.
由上述例题的方法化简:
(1)$\sqrt {13-2\sqrt {42}}$=$\sqrt {(\sqrt {7}-\sqrt {6})^{2}}=\sqrt {7}-\sqrt {6}$;
(2)$\sqrt {7-\sqrt {40}}$=$\sqrt {7-2\sqrt {10}}=\sqrt {(\sqrt {5}-\sqrt {2})^{2}}=\sqrt {5}-\sqrt {2}$;
(3)$\sqrt {2-\sqrt {3}}$=$\sqrt {\frac {8-4\sqrt {3}}{4}}=\sqrt {(\frac {\sqrt {6}-\sqrt {2}}{2})^{2}}=\frac {\sqrt {6}-\sqrt {2}}{2}$.

答案：
(1)$\sqrt {13-2\sqrt {42}}=\sqrt {(\sqrt {7}-\sqrt {6})^{2}}=\sqrt {7}-\sqrt {6}$。
(2)$\sqrt {7-\sqrt {40}}=\sqrt {7-2\sqrt {10}}=\sqrt {(\sqrt {5}-\sqrt {2})^{2}}=\sqrt {5}-\sqrt {2}$。
(3)$\sqrt {2-\sqrt {3}}=\sqrt {\frac {8-4\sqrt {3}}{4}}=\sqrt {(\frac {\sqrt {6}-\sqrt {2}}{2})^{2}}=\frac {\sqrt {6}-\sqrt {2}}{2}$。