《2025年暑假作业中国地图出版社八年级数学》

6. 如图5,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ O $,$ BE \perp AC $ 于 $ E $,$ CF \perp BD $ 于 $ F $。求证：$ BE = CF $。
证明：由题意得，$AB// CD$，$AB = CD$，
$\therefore \angle BAE=\angle CDF$。
又$BE\perp AC$，$CF\perp BD$，
$\therefore \angle BEA=\angle CFD = 90^{\circ}$。
由$AAS$可证得$\triangle BAE\cong\triangle CDF$，
$\therefore BE = CF$。

答案： 6. 由题意得，$AB// CD$，$AB = CD$，
$\therefore \angle BAE=\angle CDF$。
又$BE\perp AC$，$CF\perp BD$，
$\therefore \angle BEA=\angle CFD = 90^{\circ}$。
由$AAS$可证得$\triangle BAE\cong\triangle CDF$，
$\therefore BE = CF$。

7. 如图6,在 $ □ ABCD $ 中,对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $,点 $ P $ 是四边形 $ ABCD $ 外一点,且 $ PA \perp PC $,$ PB \perp PD $,垂足均为 $ P $,$ PA^{2} + PC^{2} = PB^{2} + PD^{2} $。求证：四边形 $ ABCD $ 是矩形。
证明：由题意得，$PA^{2}+PC^{2}=AC^{2}$，$PB^{2}+PD^{2}=BD^{2}$。又$PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}$，$\therefore$$AC = BD$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形。

答案： 7. 由题意得，$PA^{2}+PC^{2}=AC^{2}$，$PB^{2}+PD^{2}=BD^{2}$。
又$PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}$，
$\therefore AC = BD$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形。